SNS 2014-2015 n.3

Conteggi, probabilità, invarianti, logica, matematizzazione, ...
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Lance
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Iscritto il: 04 apr 2018, 18:46

SNS 2014-2015 n.3

Messaggio da Lance » 28 giu 2018, 13:07

Metto questo esercizio siccome nei vari forum non è presente una soluzione completa e il sottoscritto non riesce a risolvere il punto (2) :(

La città di Sapi è una città immaginaria, di estensione infinita. Copre l'intero piano cartesiano; le strade sono le rette orizzontali e verticali di equazione y=n o x= n, dove n è un intero arbitrario. Di conseguenza, gli incroci sono precisamente i punti con coordinate intere. Il fiume Orna attraversa la città in diagonale secondo la retta $ y=x+1/2 $. Alessia si muove per la città senza fermarsi mai partendo dall'incrocio (0, 0) e procedendo solo verso nord o verso est.
(1) Quanti sono i possibili percorsi che Alessia può effettuare per raggiungere l'incrocio di coordinate (a, b) senza attraversare mai il fiume?
(2) Supponiamo che ad ogni incrocio Alessia decida di digersi ad est con probabilità p e verso nord con probabilità $ q = 1 — p $. Dimostrare che la probabilità che Alessia abbia attraversato almeno una volta il fiume dopo essere passata da n incroci è minore o uguale a $ q/p $.

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