Pagina 1 di 1
Problema 6
Inviato: 02 lug 2018, 19:57
da PG93
Un problema più difficile, ma carino:
Siano $a,b,c>0$ tre interi tali che $MCD(a,b,c)=1$ e $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{1}{c}$. Dimostrare che $a+b$ è un quadrato perfetto.
Re: Problema 6
Inviato: 02 lug 2018, 21:24
da Mattysal
Ci provo (ammetto che il problema per me è stato abbastanza impegnativo poiché questo è stato il mio primo anno nelle olimpiadi) però tentare non costa nulla!
Per ipotesi
[math]1|abc
Inoltre sappiamo che
[math]\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{1}{c}
Il che equivale a dire:
[math]\frac{1}{a}+\frac{1}{b}-\frac{1}{c}=0
Quindi
[math]\frac{bc+ac-ab}{abc}=0
Allora si ha che
[math]bc+ac-ab=0 poiché 0 moltiplicato per abc dà 0. Trasporto ab:
[math]bc+ac=ab
Raccolgo a fattor comune
[math]c(a+b)=ab
Ora possiamo finalmente dire che;
[math]\frac{ab}{c}=a+b
Siccome tale espressione è intera, allora
[math]c|ab, ma a questo punto visto che i tre numeri sono coprimi per ipotesi, i casi sono 2:
Primo caso:
c=1
Il che è impossibile perché non esistono coppie di interi (a, b) maggiori di 0 tali che:
[math]\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=1
Secondo caso:
c = ab
Il che è possibile, e l’espressione risulterebbe:
[math]\frac{ab}{c}=1=a+b
Siccome 1 è un quadrato perfetto, si ha la tesi dimostrata.
Re: Problema 6
Inviato: 02 lug 2018, 21:57
da Maionsss
Ci sono alcuni errori nella tua soluzione @Mattysal, prova a rivederla e vedi se ci arrivi da solo.
Hint banale
Re: Problema 6
Inviato: 02 lug 2018, 22:02
da PG93
Effettivamente, c'è un problema quando consideri il fatto che i numeri sono coprimi: $MCD(a,b,c)=1$ non implica $MCD(a,b)=1$ o $MCD(a,c)=1$ o $MCD(a,b)=1$.
Per esempio, si ha $MCD(15,9,25)=1$ poiché non esiste un intero maggiore di $1$ che divide simultaneamente $15, 9$ e $25$. Però $MCD(15,25)=5$...
Spero di essere stato chiaro
Re: Problema 6
Inviato: 02 lug 2018, 22:10
da Mattysal
Sisi chiarissimo, mi sono appena reso conto di essere stato stupido. Comunque detto ciò non so proprio come andare avanti!
Re: Problema 6
Inviato: 03 lug 2018, 00:08
da TheRoS
Re: Problema 6
Inviato: 03 lug 2018, 10:27
da bananamaths
Re: Problema 6
Inviato: 03 lug 2018, 11:57
da TheRoS
$a=12$ $b=4$ $c=3$????
Re: Problema 6
Inviato: 03 lug 2018, 12:03
da bananamaths
SI hai ragione poi mi sono accorto della stupidagine che ho scritto...
Re: Problema 6
Inviato: 03 lug 2018, 14:50
da PG93
Quella di @TheRoS è buona.
Puoi proporre un nuovo problema