Disuguaglianza standard

Polinomi, disuguaglianze, numeri complessi, ...
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Tilli
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Disuguaglianza standard

Messaggio da Tilli » 05 lug 2018, 14:01

Dimostrare che, dati $ a,b\in\mathbb{R^{+}} $
Testo nascosto:
$ ab^2\leq\frac{64}{3}a^3+\frac{1}{12}b^3 $

1729
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Re: Disuguaglianza standard

Messaggio da 1729 » 05 lug 2018, 16:21

Per AM-GM
$
\frac{64a^3} {3}+\frac{b^3}{12}=
\frac{64 a^3}{3} +\frac{b^3}{24}+ \frac{b^3}{24} \geq
3 \sqrt[3] {\frac {64a^3b^6}{3 \cdot 24 \cdot 24}}=ab^2
$

Maionsss
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Re: Disuguaglianza standard

Messaggio da Maionsss » 05 lug 2018, 20:57

Io ho usato la disuguaglianza di Young

Tilli
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Re: Disuguaglianza standard

Messaggio da Tilli » 06 lug 2018, 13:46

Cioè @Maionsss? Potresti scrivere i passaggi della tua soluzione?

1729
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Re: Disuguaglianza standard

Messaggio da 1729 » 06 lug 2018, 17:35

La disuguaglianza di Young dice che se $ a $ e $ b $ sono due reali positivi e $ p $ e $ q $ due reali $ >1 $ tali che $ \frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1 $ allora
$ \displaystyle ab \leq \frac{a^p} {p} +\frac{b^q} {q} $
Usando questa disuguaglianza su $ 8a $ e$ b^2 $ e con $ p=3 $ e $ q=\frac{3}{2} $
Si ha
$ \displaystyle 8ab^2 \leq \frac{512a^3}{3}+\frac
{2b^3}{3} $ da cui la tesi

Maionsss
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Re: Disuguaglianza standard

Messaggio da Maionsss » 07 lug 2018, 00:01

È giusto quello che dice @1729, però io ho usato la formula diciamo più "generale" della disuguaglianza di Young.
Testo nascosto:
Vale $
x_1\cdot{....} \cdot{x_n} \leq \theta_1x_1^{\frac{1}{\theta_1}} +... +\theta_nx_n^{\frac{1}{\theta_n}} $ per ogni $ x_1,.. .,x_n > 0 $ e $
\theta_1,...,\theta_n>0 $ tali che $ \theta_1+...+\theta_n =1. $
Dunque si ha le tesi per $ n=3, \theta_1=\theta_2=\theta_3=\frac{1}{3}, x_1=4a $ e $ x_2=x_3= \frac{b} {2} $

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