Determinare le coppie

Numeri interi, razionali, divisibilità, equazioni diofantee, ...
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fabinz
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Determinare le coppie

Messaggio da fabinz » 05 lug 2018, 15:55

Ciao ragazzi, il quesito che ho svolto è il seguente :
"Determinare tutte le coppie (m,n) di interi positivi per cui [math] risulta a sua volta un'intero."
Penso di aver risolto l'esercizio, ma non sono sicuro delle mie risposte.
La soluzione che ho trovato è che le coppie (m;n) che soddisfano il quesito sono:
(1;n),[math]
([math];n);[math]
(m;4k), (m;4k+1) , (m;4k+3) [math]
Potete dirmi se le mie risposte sono corrette?
Grazie in anticipo

1729
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Re: Determinare le coppie

Messaggio da 1729 » 05 lug 2018, 17:38

Non dovrebbe essere $ (a^{2k},n) \, \forall a, k \in \mathbb{N} $?

fabinz
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Re: Determinare le coppie

Messaggio da fabinz » 06 lug 2018, 13:55

1729 ha scritto:
05 lug 2018, 17:38
Non dovrebbe essere $ (a^{2k},n) \, \forall a, k \in \mathbb{N} $?
Non lo so, potresti dirmi come hai fatto a trovare quel risultato?
Noto però che la coppia (2;3) è una soluzione valida, ma [math] non da soluzioni intere...

1729
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Re: Determinare le coppie

Messaggio da 1729 » 06 lug 2018, 16:58

Allora non ti faccio tutti i passaggi ma si puó dimostrare che $ n^5-n $ é sempre dividibile per $ 2,3,5 $
e quindi é sempre dividibile per $ 30 $.
Inoltre é divisibile per 4 sempre tranne quando $ n \equiv 2 \mod 4 $
Quindi le soluzioni sono del tipo$ (a^{2k} ,n) $ con
$ n $ qualsiasi e $ (a, n) $ con $ n $
non congruo a $ 2 \mod 4 $

fabinz
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Re: Determinare le coppie

Messaggio da fabinz » 07 lug 2018, 09:36

Ho capito, grazie mille!

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