Problemini vari
Moderatore: tutor
1)Dimostrare che il baricentro del perimetro di un qualunque
<BR>triangolo e\' l\'incentro del triangolo che ha per vertici
<BR>i punti medi dei lati del triangolo dato.
<BR>
<BR>2)Si consideri un punto P interno ad un triangolo dato:
<BR>si determini la posizione di P perche\' sia massimo il
<BR>prodotto delle distanze di P dai tre lati del triangolo.
<BR>
<BR>3)Calcolare la somma (finita):
<BR>Sn=cos^2(x)+cos^2(2x)+cos^2(3x)+......+cos^2(2nx).
<BR>
<BR> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_smile.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_smile.gif">
<BR>
<BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: karl il 07-02-2004 21:56 ]<BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: karl il 07-02-2004 22:26 ]
<BR>triangolo e\' l\'incentro del triangolo che ha per vertici
<BR>i punti medi dei lati del triangolo dato.
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<BR>2)Si consideri un punto P interno ad un triangolo dato:
<BR>si determini la posizione di P perche\' sia massimo il
<BR>prodotto delle distanze di P dai tre lati del triangolo.
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<BR>3)Calcolare la somma (finita):
<BR>Sn=cos^2(x)+cos^2(2x)+cos^2(3x)+......+cos^2(2nx).
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<BR> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_smile.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_smile.gif">
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<BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: karl il 07-02-2004 21:56 ]<BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: karl il 07-02-2004 22:26 ]
Up!!!!
<BR>
<BR>Continua la serie del ravanamento nella roba vecchia. Ma come??... Tre esercizi del buon Karl snobbati allegramente, così, senza un vero perché?
<BR>
<BR>[confesso che non li ho tentati: mi fido della selezione karlesca]
<BR>
<BR>Ciao.
<BR>
<BR>M.[addsig]
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<BR>Continua la serie del ravanamento nella roba vecchia. Ma come??... Tre esercizi del buon Karl snobbati allegramente, così, senza un vero perché?
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<BR>[confesso che non li ho tentati: mi fido della selezione karlesca]
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<BR>Ciao.
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<BR>M.[addsig]
[i:2epswnx1]già ambasciatore ufficiale di RM in Londra[/i:2epswnx1]
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"Well, master, we're in a fix and no mistake."
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"Well, master, we're in a fix and no mistake."
Ponendo Ln=sin^2(x)+...sin^2(nx), si ha la relazione ovvia Ln+Sn=1, inoltre
<BR>
<BR>la formula di Eulero ci dice che:
<BR>
<BR>
<BR>e^(ikx)=cos(kx)+isin(kx) ed elevando al quadrato:
<BR>
<BR>e^2ikx=cos^2(kx)-sin^2(kx)+2isin(kx)cos(kx), sommando da 1 ad n si ha:
<BR>
<BR>(e^(2ix(n+1)-1)/(e^(2ix)-1)=Sn-Ln+iA(n)
<BR>
<BR>dove A(n) non ci interessa. Eguagliando la parte immaginaria e quella reale si imosta un sistemino e si trova Sn(ed anche L(n))[addsig]
<BR>
<BR>la formula di Eulero ci dice che:
<BR>
<BR>
<BR>e^(ikx)=cos(kx)+isin(kx) ed elevando al quadrato:
<BR>
<BR>e^2ikx=cos^2(kx)-sin^2(kx)+2isin(kx)cos(kx), sommando da 1 ad n si ha:
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<BR>(e^(2ix(n+1)-1)/(e^(2ix)-1)=Sn-Ln+iA(n)
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<BR>dove A(n) non ci interessa. Eguagliando la parte immaginaria e quella reale si imosta un sistemino e si trova Sn(ed anche L(n))[addsig]
La compactesse est metaphisique.
Per il secondo, si vede facilmente attraverso la AM-GM che, detti a<sub>i</sub> con i = 1,2,3 i 3 lati del triangolo, d<sub>i</sub> (ancora con con i = 1,2,3) le 3 distanze considerate ed A l\'area del triangolo, il massimo è 8A/[27*(prod<sub>i = 1,2,3</sub>(a<sub>i</sub>))] e si ottiene solo se a<sub>i</sub>*d<sub>i</sub> = a<sub>j</sub>*d<sub>j</sub>
<BR>per ogni i != j (per j la stessa notazione di i). Dunque il punto P è il punto d\'incontro delle mediane, o il circocentro.
<BR>
<BR>Per il terzo, prevedo roba <i>complessa</i> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_wink.gif"> , che ora purtroppo non ho tempo di svolgere.
<BR>
<BR>EDIT: Naturalmente non avevo ancora visto il post di metafisic. Cmq metafisic puoi modificare i tuoi messaggi se ti accorgi di qualche errore, così eviti di ingolfare il 3D.
<BR><BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: DB85 il 10-01-2005 16:29 ]
<BR>per ogni i != j (per j la stessa notazione di i). Dunque il punto P è il punto d\'incontro delle mediane, o il circocentro.
<BR>
<BR>Per il terzo, prevedo roba <i>complessa</i> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_wink.gif"> , che ora purtroppo non ho tempo di svolgere.
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<BR>EDIT: Naturalmente non avevo ancora visto il post di metafisic. Cmq metafisic puoi modificare i tuoi messaggi se ti accorgi di qualche errore, così eviti di ingolfare il 3D.
<BR><BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: DB85 il 10-01-2005 16:29 ]
"Le vite degli uomini famosi ci ricordano
Che possiamo rendere sublimi le nostre esistenze
E, morendo, lasciare dietro di noi
Le nostre impronte sulle sabbie del tempo"
Henry Wadsworth Longfellow
Che possiamo rendere sublimi le nostre esistenze
E, morendo, lasciare dietro di noi
Le nostre impronte sulle sabbie del tempo"
Henry Wadsworth Longfellow
<!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>On 2005-01-10 16:10, metafisic wrote:
<BR>(e^(2ix(n+1)-1)/(e^(2ix)-1)=Sn-Ln+iA(n)
<BR>
<BR>dove A(n) non ci interessa. Eguagliando la parte immaginaria e quella reale si imosta un sistemino e si trova Sn(ed anche L(n))
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>< begin mode = Pierino >
<BR>Beh, e questo secondo voi, concluderebbe la sol.?
<BR>< end mode = Pierino>
<BR>
<BR>On 2005-01-10 16:10, metafisic wrote:
<BR>(e^(2ix(n+1)-1)/(e^(2ix)-1)=Sn-Ln+iA(n)
<BR>
<BR>dove A(n) non ci interessa. Eguagliando la parte immaginaria e quella reale si imosta un sistemino e si trova Sn(ed anche L(n))
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>< begin mode = Pierino >
<BR>Beh, e questo secondo voi, concluderebbe la sol.?
<BR>< end mode = Pierino>
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[i:2epswnx1]già ambasciatore ufficiale di RM in Londra[/i:2epswnx1]
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"Well, master, we're in a fix and no mistake."
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"Well, master, we're in a fix and no mistake."
Già...consideriamo la densità lineare di massa costante oppure no? <IMG SRC="images/forum/icons/icon_wink.gif"> Potremmo esprimerla in funzione della distanza dal vertice, perchè no?
<BR>
<BR>p.s.: nn ci ho provato nemmeno per un secondo (e ora nn ho tempo!)... volevo solo proporre una variante che fà capire quanto sia ideale il modello matematico rispetto al mondo fisico! Sono gli effetti di 5 ore di tema...capitemi! Cmq what guarda il libro di fisica!<BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: info il 11-01-2005 14:09 ]
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<BR>p.s.: nn ci ho provato nemmeno per un secondo (e ora nn ho tempo!)... volevo solo proporre una variante che fà capire quanto sia ideale il modello matematico rispetto al mondo fisico! Sono gli effetti di 5 ore di tema...capitemi! Cmq what guarda il libro di fisica!<BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: info il 11-01-2005 14:09 ]