Cavoli a merenda (problema olimpiadi)

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Giapogeppo
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Cavoli a merenda (problema olimpiadi)

Messaggio da Giapogeppo » 14 giu 2019, 12:30

Ciao,
qualche giorno fa c'erano le gare di fine anno.
Il problema 12, a mio avviso il più difficile, non so come risolverlo.
se qualcuno vuole aiutarmi ecco qui il testo:

Angelo coltiva cavoli nel suo orto e li pianta in un quadrato perfetto.
Dopo aver raccolto 336 cavoli osserva che quelli rimasti formano un quadrato perfetto.
Dopo alcuni giorni raccoglie ancora 336 cavoli e ancora una volta i cavoli restanti formano un quadrato perfetto.
Quanti sono i cavoli rimasti nell'orto di Angelo dopo il secondo raccolto?

Grazie.

Luca Milanese
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Re: Cavoli a merenda (problema olimpiadi)

Messaggio da Luca Milanese » 14 giu 2019, 13:09

Ciao. Posto la mia soluzione. A quali gare ti riferisci?
Testo nascosto:
Il problema equivale a un sistema di equazioni diofantee. La prima parte del testo può essere scritta come a^2-336=b^2, la seconda come b^2-336=c^2. Dalla prima equazione otteniamo (a+b)(a-b)=336=(2^4)×3×7, e quindi le soluzioni intere positive a e b sono le 10 coppie ordinate (con a>b) tali che a+b e a-b sono divisori di 336 che verificano l'equazione (perchè abbiamo visto che i divisori interi positivi di 336 sono 20). Tra queste, si cerca poi quella tale che anche (b+c)(b-c)=336 abbia soluzioni intere positive, e l'unica è a=31, b=25, c=17. Quindi dopo il secondo raccolto rimangono 17^2=289 cavoli. Spero che si capisca quello che ho scritto.
Ultima modifica di Luca Milanese il 14 giu 2019, 13:55, modificato 1 volta in totale.

Maionsss
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Re: Cavoli a merenda (problema olimpiadi)

Messaggio da Maionsss » 14 giu 2019, 13:37

Testo nascosto:
$289?$
È solo la risposta numerica, in caso fosse giusta posto la mia soluzione.

Giapogeppo
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Re: Cavoli a merenda (problema olimpiadi)

Messaggio da Giapogeppo » 14 giu 2019, 14:29

Luca Milanese ha scritto:
14 giu 2019, 13:09
Ciao. Posto la mia soluzione. A quali gare ti riferisci?
Testo nascosto:
Il problema equivale a un sistema di equazioni diofantee. La prima parte del testo può essere scritta come a^2-336=b^2, la seconda come b^2-336=c^2. Dalla prima equazione otteniamo (a+b)(a-b)=336=(2^4)×3×7, e quindi le soluzioni intere positive a e b sono le 10 coppie ordinate (con a>b) tali che a+b e a-b sono divisori di 336 che verificano l'equazione (perchè abbiamo visto che i divisori interi positivi di 336 sono 20). Tra queste, si cerca poi quella tale che anche (b+c)(b-c)=336 abbia soluzioni intere positive, e l'unica è a=31, b=25, c=17. Quindi dopo il secondo raccolto rimangono 17^2=289 cavoli. Spero che si capisca quello che ho scritto.
Grazie anche io lo avevo sviluppato così solo che mi ero dimenticato non so perchè di contare anche la seconda equazione.
comunque grazie anche se sono rimasto un po' basito perchè l'unico errore era che mi sono dimenticato la seconda equazione; mannaggia a me.

Giapogeppo
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Re: Cavoli a merenda (problema olimpiadi)

Messaggio da Giapogeppo » 14 giu 2019, 14:30

Luca Milanese ha scritto:
14 giu 2019, 13:09
Ciao. Posto la mia soluzione. A quali gare ti riferisci?
Testo nascosto:
Il problema equivale a un sistema di equazioni diofantee. La prima parte del testo può essere scritta come a^2-336=b^2, la seconda come b^2-336=c^2. Dalla prima equazione otteniamo (a+b)(a-b)=336=(2^4)×3×7, e quindi le soluzioni intere positive a e b sono le 10 coppie ordinate (con a>b) tali che a+b e a-b sono divisori di 336 che verificano l'equazione (perchè abbiamo visto che i divisori interi positivi di 336 sono 20). Tra queste, si cerca poi quella tale che anche (b+c)(b-c)=336 abbia soluzioni intere positive, e l'unica è a=31, b=25, c=17. Quindi dopo il secondo raccolto rimangono 17^2=289 cavoli. Spero che si capisca quello che ho scritto.
Alle gare aperte a tutti di fine anno a squadre (allenamento)

Luca Milanese
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Re: Cavoli a merenda (problema olimpiadi)

Messaggio da Luca Milanese » 14 giu 2019, 14:32

Purtroppo capita a tutti (soprattutto a me!) di fare errori di distrazione. Mi sono giocato i primi posti alla finale Bocconi di quest'anno in questa maniera...

Giapogeppo
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Re: Cavoli a merenda (problema olimpiadi)

Messaggio da Giapogeppo » 14 giu 2019, 14:52

Luca Milanese ha scritto:
14 giu 2019, 14:32
Purtroppo capita a tutti (soprattutto a me!) di fare errori di distrazione. Mi sono giocato i primi posti alla finale Bocconi di quest'anno in questa maniera...
Hai ragione capita poi è pure estate quindi mi sento scusato :D

Giapogeppo
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Re: Cavoli a merenda (problema olimpiadi)

Messaggio da Giapogeppo » 14 giu 2019, 16:18

Maionsss ha scritto:
14 giu 2019, 13:37
Testo nascosto:
$289?$
È solo la risposta numerica, in caso fosse giusta posto la mia soluzione.
è corretta, se la tua soluzione è differente dalla nostra potresti postarla che sono curioso.
Grazie.

Maionsss
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Re: Cavoli a merenda (problema olimpiadi)

Messaggio da Maionsss » 14 giu 2019, 20:20

Nono la soluzione è identica a quella già postata :lol:

fph
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Re: Cavoli a merenda (problema olimpiadi)

Messaggio da fph » 14 giu 2019, 22:18

Comunque, per la cronaca, non credo proprio che sia un problema delle olimpiadi...
--federico
[tex]\frac1{\sqrt2}\bigl(\left|\text{loves me}\right\rangle+\left|\text{loves me not}\right\rangle\bigr)[/tex]

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