SSSUP 2018 - matematica esercizio 1

Numeri interi, razionali, divisibilità, equazioni diofantee, ...
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Nadal21
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SSSUP 2018 - matematica esercizio 1

Messaggio da Nadal21 » 15 ago 2019, 16:50

Lo stato di Santannaland utilizza come moneta nazionale il Piso e la Banca Centrale ha deciso di stampare banconote di soltanto due tagli. Si tenga conto che:
a) tutti i beni hanno un prezzo intero, compreso tra $1$ e $100$ (estremi compresi);
b) i beni hanno prezzi uniformemente ripartiti e la stessa probabilità di essere acquistati;
c) i pagamenti vengono fatti in contanti per la cifra esatta e senza ricevere resto;
d) ogni cittadino possiede banconote dei due tagli in gran quantità, sicuramente sufficienti a fare gli acquisti.

1.Determinare la scelta dei due tagli di banconote che rende minimo in media il numero di banconote necessario per gli acquisti.
2.Discutere la questione precedente nel caso generale in cui i prezzi dei beni siano compresi tra $1$ ed $N$, con $N$ intero qualsiasi, lasciando uguale a due il numero di tagli di banconote da stampare.

mat2772
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Re: SSSUP 2018 - matematica esercizio 1

Messaggio da mat2772 » 19 ago 2019, 18:09

Sbaglio o uno dei due tagli è per forza 1?

Nadal21
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Re: SSSUP 2018 - matematica esercizio 1

Messaggio da Nadal21 » 23 ago 2019, 13:03

Certamente, altrimenti non potei pagare unbent che costa 1. Il problema è l’altro taglio

mat2772
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Re: SSSUP 2018 - matematica esercizio 1

Messaggio da mat2772 » ieri, 14:52

Premetto che non ho trovato una soluzione formale per il caso N ma credo anche che non sia determinabile a priori senza sporcarsi un po' le mani.
Testo nascosto:
Mettiamo N=ap+m con a taglio e m resto di N/a, a questo punto la quantità di monete da a usate è
a(p(p-1)/2)+p(m+1), mentre la quantità di monete da 1 usate è N(N+1)/2-a(a(p(p-1)/2)+p(m+1)), quindi la quantità totale di monete usate è
N(N+1)/2-(a-1)(a(p(p-1)/2)+p(m+1)). Voglio il minimo di questa funzione per N fissato ma ciò equivale a chiedere il massimo di F(a,p)=(a-1)(a(p(p-1)/2)+p(N-ap+1))
(sostituisco m=N-ap). Adesso noto un fatto utile, la funzione è simmetrica in (a-1,p) e in particolare con i giusti raccoglimenti trovo che per (a-1)p fissato a-1 e p sono più vicini possibili (*) (sempre mantenendo ap<=N). Inoltre F(a,p)>F(p,a) se e solo se a>p quindi i casi da controllare sono ridotti a p<=sqrt(N), a=floor(N/p). Per N=100 i casi sono 10 e sono riducibili a mano grazie a (*), le coppie (a,p) che danno il massimo di F(a,p) sono (10,10) e (11,9) quindi il secondo taglio per 100 può valere 10 o 11.
Per il caso N non ho trovato altro ma è anche possibile che mi stia perdendo in un bicchier d'acqua.

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