Dimostrare che è un quadrilatero ciclico

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ricarlos
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Dimostrare che è un quadrilatero ciclico

Messaggio da ricarlos » 02 dic 2019, 02:32

Sia $ABC$ un triangolo e sia $H$ l’ortocentro.
Sia $\omega_{1}$ una circonferenza di centro $B$ e raggio $BH$.
Sia $\omega_{2}$ una circonferenza di centro $C$ e raggio $CH$.
Siano $L$ e $N$ punti su $AB$ e $AC$, rispettivamente.
$X=LH\cap\omega_{2}$ , $Y=NH\cap\omega_{1}$.
Dimostrare che $LNXY$ è un quadrilatero ciclico.

Parmenide
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Re: Dimostrare che è un quadrilatero ciclico

Messaggio da Parmenide » 02 dic 2019, 23:30

siano $D,E,F$ le intersezioni di $AH,BH,CH$ con la circoscritta a $\triangle ABC$.
Siccome è noto che $D,E,F$ sono i simmetrici di $H$ rispetto a $BC,CA,AB$ si ha che i triangoli $HBD,HCD,HCE,HAE,HFA,HFB$ sono isosceli, per cui $CD=CH=CE$ e $BD=BH=BF$. Quindi $D,E\in\omega_2$ e $D,F\in\omega_1$.

Allora $\angle EXL=\angle EXH=\angle EDH=\angle EDA=\angle EBA=\angle EBL$ quindi $BLEX$ è ciclico
Allo stesso modo si dimostra che $CNFY$ è ciclico.

Quindi $LH\cdot HX=BH\cdot HE=FH\cdot HC=NH\cdot YH$ da cui la tesi

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