induzione

Numeri interi, razionali, divisibilità, equazioni diofantee, ...
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symonmasini79
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induzione

Messaggio da symonmasini79 » 07 gen 2020, 15:39

-il principio di induzione è un metodo dimostrativo a posteriori nel senso che bisogna prima conoscere

la formula da dimostrare. Ad esempio Gauss trovò la formula per la somma dei primi 100 naturali e

oggi noi la proviamo per induzione. Esiste qualche libro o sito internet che voi sappiate in cui sono descritti

i metodi con cui sono stati trovati tali formule sui naturali simili a quella di Gauss?

-nel principio di induzione si deve dimostrare una data formula prima verificandola per un dato intero

e dopo supponendola vera per n si deve far vedere che è vera per n+1. Se faccio vedere che se è vera per

n+1 allora è vera per n è la stessa cosa?

Galgo
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Re: induzione

Messaggio da Galgo » 07 gen 2020, 19:00

Esiste qualche libro o sito internet che voi sappiate in cui sono descritti i metodi con cui sono stati trovati tali formule sui naturali simili a quella di Gauss?
I metodi per trovare la somma dei primi $n$ numeri naturali li puoi vedere da qui.
Se faccio vedere che se è vera per n+1 allora è vera per n è la stessa cosa?
In questo modi dimostri che quello che vuoi dimostrare vale per tutti i numeri naturali minori (o uguali) del passo base.

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Lasker
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Re: induzione

Messaggio da Lasker » 07 gen 2020, 20:00

Puoi cercare "induzione di Cauchy" (o anche "induzione up and down", come è nota in ambiente olimpico) se pensi sia più facile dimostrare $n\implies n-1$ piuttosto che $n\implies n+1$ nel tuo particolare problema (UTF immagino lol). Certo devi comunque avere un modo di "andare up" (non ti basta $n\implies n-1$ se vuoi dimostrare qualcosa per valori grandi di $n$... nell'esempio che conosco io si usa $n\implies 2n$ in combinazione con $n \implies n-1$ per coprire tutto $\mathbb{N}$, anche se ovviamente puoi sbizzarrirti molto sui modi in cui vai "up"). In alcuni casi è più comoda dell'induzione classica (esempio famosissimo che si fa sempre al senior: AMGM per induzione sul numero di variabili)
"Una funzione generatrice è una corda da bucato usata per appendervi una successione numerica per metterla in mostra" (Herbert Wilf)

"La matematica è la regina delle scienze e la teoria dei numeri è la regina della matematica" (Carl Friedrich Gauss)

Sensibilizzazione all'uso delle potenti Coordinate Cartesiane, possano seppellire per sempre le orride baricentriche corruttrici dei giovani: cur enim scribere tre numeri quando se ne abbisogna di due?

PRIMA FILA TUTTI SBIRRI!

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