In che piano inverto?

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Ted Kaczynski
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In che piano inverto?

Messaggio da Ted Kaczynski » 08 gen 2020, 11:45

Buongiorno a tutti, mentre facevo un esercizio sull'inversione ho riscontrato un problema di formalizzazione sul punto all'infinito.
Infatti capitava che l'inverso del centro di inversione appartenesse a più rette non parallele tra loro. Se ce ne sarà bisogno posso anche postare il problema, ma il dubbio in sostanza è il seguente: dato che l'inversione è un' involuzione e ogni punto all'infinito quando viene invertito va nel centro, il centro non dovrebbe andare nella retta all'infinito, anziché "nel punto all'infinito" come leggo di solito? Premetto che anche questa soluzione non potrebbe andar bene dato che il problema mi chiedeva di dimostrare la ciclicità di un quadrilatero avente per vertice anche il centro di inversione (per come l'avevo posto io), per cui dimostravo che gli altri tre vertici invertiti erano allineati: forse quindi va considerato un solo punto all'infinito, per cui il piano dell'inversione non è esattamente quello proiettivo.
Fatemi sapere!
"Ma bisogna dire che avviene della matematica, come di qualunque altra cosa, che la sua bellezza può essere sentita, non spiegata." Arthur Cayley

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Re: In che piano inverto?

Messaggio da fph » 08 gen 2020, 13:56

Esatto, "il piano dell'inversione non è esattamente quello proiettivo". In un caso aggiungi al piano un solo punto all'infinito, nell'altro un'intera retta. In termini più generali, inversione e birapporti sono definiti sul proiettivizzato di $\mathbb{C}$, quindi $\mathbb{C}$ (di dimensione complessa 1) più un solo punto all'infinito. Le trasformazioni di geometria proiettiva sono definite invece sul proiettivizzato di $\mathbb{R}^2$ (di dimensione reale 2), a cui aggiungi una retta di punti all'infinito.
--federico
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Ted Kaczynski
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Re: In che piano inverto?

Messaggio da Ted Kaczynski » 08 gen 2020, 14:27

Grazie mille, ho capito.
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