Disuguaglianze potenti ma semplici

Polinomi, disuguaglianze, numeri complessi, ...
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TeoricodeiNumeri
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Disuguaglianze potenti ma semplici

Messaggio da TeoricodeiNumeri » 16 mag 2020, 18:46

Dimostrare che per ogni $n\in \mathbb{N}^*$ valgono le seguenti disuguaglianze:
\begin{equation}
\Bigg(1-\frac{1}{(n+1)^2}\Bigg)^{n+1}<\frac{n+1}{n+2}<\Bigg(1-\frac{1}{(n+1)^2}\Bigg)^{n}
\end{equation}

Perché potenti? Perché di fatto dimostrano la monotonia delle successioni $(a_n)_{n\geq 1}$ e $(b_n)_{n\geq 1}$ tali che $a_n=\Big(1+\frac{1}{n}\Big)^{n+1}$ (strettamente decrescente) e $b_n =\Big( 1+\frac{1}{n}\Big)^n$ (strettamente crescente).

Perché semplici? Beh, tocca a voi scoprirlo...

Enjoy!

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