Un vecchio classico

Numeri interi, razionali, divisibilità, equazioni diofantee, ...
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TeoricodeiNumeri
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Un vecchio classico

Messaggio da TeoricodeiNumeri » 16 mag 2020, 18:52

Mostrare che per ogni $n\geq 2$ naturale si ha che l'espressione
\begin{equation}
1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{n}=\sum_{i=1}^{n} \frac{1}{i}
\end{equation}
non è un numero intero.

Luca Milanese
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Re: Un vecchio classico

Messaggio da Luca Milanese » 16 mag 2020, 20:05

Testo nascosto:
Per prima cosa faccio a mano i casi [math] ed [math], ottenendo rispettivamente [math] e [math]. Sia per il seguito [math].

Riscriviamo la somma come

[math]

Sia [math] il più grande primo [math]. Per il Postulato di Bertrand, si ha [math], e quindi, per l'identità di Legendre-de Polignac:

[math]

Quindi [math], e pertanto [math] divide il denominatore ma non il numeratore di [math], che perciò non è intero.

TeoricodeiNumeri
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Re: Un vecchio classico

Messaggio da TeoricodeiNumeri » 17 mag 2020, 09:27

Ho visto la soluzione. Molto bravo! Tra l'altro ad aver trovato questa stessa soluzione (o una simile) c'è il prof. Pete L. Clark, come lui stesso racconta in "A contemporary introduction to modern Number Theory", una dispensa che potete trovare sul suo sito.
Comunque c'è una soluzione che non richiede di alcun risultato particolare di TdN...

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Fenu
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Re: Un vecchio classico

Messaggio da Fenu » 17 mag 2020, 23:42

la stessa ma con il fattore 2. Esiste un unico fattore con valutazione $2$-adica maggiore quindi denom e num non si semplificano (in particolare uscirebbe $\frac{a}{b}=\frac{1}{2}$ con $a, b$ dispari)

TeoricodeiNumeri
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Re: Un vecchio classico

Messaggio da TeoricodeiNumeri » 17 mag 2020, 23:47

Esatto! Non mi è chiaro solo quando dici che uscirebbe $a/b=1/2$ ma l'idea è quella che hai detto.

Mattysal
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Re: Un vecchio classico

Messaggio da Mattysal » 25 mag 2020, 13:02

TeoricodeiNumeri ha scritto:
16 mag 2020, 18:52
Mostrare che per ogni $n\geq 2$ naturale si ha che l'espressione
\begin{equation}
1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{n}=\sum_{i=1}^{n} \frac{1}{i}
\end{equation}
non è un numero intero.
Bonus
Dimostrare che per ogni $n\geq 1$ naturale si ha che l’espressione
\begin{equation}
1+\frac{1}{3}+\frac{1}{5}+...+\frac{1}{2n+1}
\end{equation}
non è un numero intero.

TeoricodeiNumeri
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Re: Un vecchio classico

Messaggio da TeoricodeiNumeri » 25 mag 2020, 20:04

Testo nascosto:
Il ragionamento credo che sia lo stesso presentato da Fenu per il problema precedente ma fatto rispetto al primo 3...

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