OliForum Matematico

quando si potranno sapere i risultati di archimede? spero presto... era tutto online
... e già che ci sono... il problema con il polinomio e i numeri primi... come si faceva? a grandi linee

Ancora Niente

http://olimpiadi.dm.unibo.it/2021/03/12 ... ero-testo/

I punteggi di ogni concorrente sono già stati comunicati alle scuole; ora forse servirà loro qualche giorno per ricontrollare tutto e pubblicare le loro classifiche!

Per quanto riguarda il problema con il polinomio c'erano un paio di versioni ma l'idea era la stessa, prendo uno dei tanti per farti capire ma sappi che se anche ne avessi avuto uno diverso il ragionamento sarebbe stato analogo: [math]P(x)=x^2-(89-p)x+7p, trovare tutti i p tali che il polinomio abbia due radici positive intere

Idea chiave: Viète
Nel caso di equazioni di 2 grado le formule di viete le potresti anche avere fatte a scuola e in pratica ti dicono i coefficienti dell'equazione in base alle sue radici.
Supponi di avere [math]Q(x)=x^2+bx+c, se α e β sono le sue radici allora [math]Q(x)=(x-α)(x-β)=x^2-βx-αx+αβ=x^2-(α+β)x+αβ espandendo. Ma visto che sono lo stesso polinomio allora avrai che [math]b=-(α+β) e [math]c=αβ e quindi hai la tua relazione.

Nel nostro caso chiamiamo le due radici c e d. Sappiamo che esse devono essere positive e intere e devono soddisfare [math]-(89-p)=-(c+d) e [math]cd=7p.
Tuttavia essendo c e d interi positivi non vi sono tanti valori che soddisfano la seconda equazione: [math]c=7 e [math] d=p oppure [math] c=7p e [math]d=1 (poi naturalmente anche i casi con c e d scambiati ma tanto darebbero gli stessi risultati). Sostituendo i valori nella prima equazione si trova p=41 e p=11 che sono i valori che volevamo trovare (poi il testo chiedeva di sommarli!)

666gjhjhj io il problema del polinomio l'ho fatto così

Determinare tutti i numeri primi p tali che il polinomio P(x) = x^2 − (67 − p)x + 5p abbia due radici intere positive.
Indicare come risposta la somma dei suddetti numeri p.

Dato che P(x) è monico, se m ed n sono le sue radici positive e intere allora P(x) = (x - m)(x-n)
Pertanto si ha che

m + n = 67 - p
mn = 5p

Dalla seconda equazione, 5 (essendo primo) deve dividere almeno una tra m ed n, diciamo che divide m tanto è lo stesso. Poniamo m = 5a (con a intero positivo). La seconda equazione diviene 5an = 5p, pertanto

p = an

Ora essendo a ed n positive abbiamo (essendo p primo) solo due possibilità
Caso 1) a = p e n = 1
Caso 2) a = 1 e n = p

Sostituendo nella prima equazione, nel primo caso si ha
5p + 1 = 67 - p
4p = 66
che è un assurdo in quanto 4 non divide 66.

Nel secondo caso
5 + p = 67 - p
2p = 62
p = 31

L'unico primo che soddisfa va bene è dunque 31, e 31 è anche la risposta al quesito.

grazie ragazzi troppo gentili :DD

Andrea Palma ha scritto: ↑12 mar 2021, 19:29 666gjhjhj io il problema del polinomio l'ho fatto così

Determinare tutti i numeri primi p tali che il polinomio P(x) = x^2 − (67 − p)x + 5p abbia due radici intere positive.
Indicare come risposta la somma dei suddetti numeri p.

Dato che P(x) è monico, se m ed n sono le sue radici positive e intere allora P(x) = (x - m)(x-n)
Pertanto si ha che

m + n = 67 - p
mn = 5p

Dalla seconda equazione, 5 (essendo primo) deve dividere almeno una tra m ed n, diciamo che divide m tanto è lo stesso. Poniamo m = 5a (con a intero positivo). La seconda equazione diviene 5an = 5p, pertanto

p = an

Ora essendo a ed n positive abbiamo (essendo p primo) solo due possibilità
Caso 1) a = p e n = 1
Caso 2) a = 1 e n = p

Sostituendo nella prima equazione, nel primo caso si ha
5p + 1 = 67 - p
4p = 66
che è un assurdo in quanto 4 non divide 66.

Nel secondo caso
5 + p = 67 - p
2p = 62
p = 31

L'unico primo che soddisfa va bene è dunque 31, e 31 è anche la risposta al quesito.

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