Dimostrazione della soluzione - teoria dei giochi

[decs]

Due giocatori A e B giocano su un quadrato [math]2N × 2N. A turno (inizia A) disegnano sul quadrato un blocco [math]2×1. I blocchi vanno messi in orizzontale o in verticale e non si possono sovrapporre. Vince chi lascia l'avversario senza mosse lecite.
Chi vince? Qual è la strategia vincente?

Credo di aver intuito la soluzione: vince sempre B, la tattica vincente sarebbe questa (supponiamo di determinare ogni quadratino nell'asse [math]x , y, dove il quadratino al vertice basso sinistro è [math](1,1) e quello al vertice alto destro è [math](2N, 2N):
se A gioca il blocchetto su [math]((x , y) ; (x , y + 1)) (e quindi verticalmente), B risponde con [math]((2N - x + 1 , 2N - y + 1) ; (2N - x + 1 , 2N - y))
se A gioca il blocchetto su [math]((x , y) ; (x + 1, y)) (e quindi orizzontalmente), B risponde con [math]((2N - x + 1, 2N - y + 1) ; (2N - x , 2N - y + 1)).
In altre parole, posiziono il blocchetto nello stesso posto dell'avversario e ruoto il quadrato da gioco di 180°.
Il problema però è dimostrare; qualcuno può aiutare?

PS: sorry per aver messo questo esercizio in tdn, ma non ho visto uno spazio adatto a teoria dei giochi

[J23]

Non so se la tua strategia lo permetta ma quando avevo provato a fare il problema trovai una idea lievemente simile che mi consentiva di affermare che se il giocare A ha giocato allora necessariamente esiste una mossa giocabile anche per B, ovvero la mossa simmetrica di A rispetto alla diagonale. Se B ha sempre la possibilità di eseguire una mossa allora B sarà il vincitore perché le mosse disponibili non sono infinite.

Ovviamente questa è semplicemente un'idea non ho dimostrato nulla.