[G] Tirangoli equilateri dove non te li aspetti....
Moderatore: tutor
Prendiamo un triangolo ABC con l\'angolo ABC di 60 gradi. Chiamiamo M il punto medio di AC, H il piede della perpendicolare condotta da C su AB e K il piede della perpendicolare condotta da A su BC. Dimostrare che il triangolo MHK è equilatero.
"Ma devo prendere una n-upla qualsiasi o una n-upla arbitraria?" (Lui)
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numerodinepero
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- Località: Pechino
<!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>On 2004-09-29 19:13, numerodinepero wrote:
<BR>ma è banale, suvvia
<BR>
<BR>
<BR>scusate non mi sono trattenuto...
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>
<BR>[Premessa] Non sta di certo a me valutare certe cose [/Premessa]
<BR>Caro numerodinepero, se consideri davvero il problema così banale, ti sarei grato di postare la tua soluzione per illuminare la mia giovane mente, che sicuramente non arriverà a tanto, nel frattempo io posto, in bianco, la mia, nella speranza che qualcuno la corregga e mi dica se funge.
<BR>
<BR>Dimostrazione:
<BR><font color=white>
<BR>Tracciamo le perpendicolari condotte da M su AB e BC, chiamamo J e L i punti di intersezione con i lati, osserviamo che, per il teorema di Talete, sfruttando il fatto che AM=CM, JK=AJ, HL=CL, abbiamo quindi triangoli rettangoli congruenti e si formano dunque 2 triangoli isosceli,HCM e AMK, ora ponendo MCH=MHC=a e MAK=MKA=b abbiamo che l\'angolo KMH è 180-(360-2(a+b)), sapendo che a+b=120 abbiamo 180-(360-240)=60, quindi il triangolo KMH è isoscele con l\'angolo al vertice di 60 gradi, quindi equilatero.
<BR></font>
<BR>
<BR>Chiedetemi lumi se non capite qualcosa, correggetemi se ergo. Ciao
<BR>On 2004-09-29 19:13, numerodinepero wrote:
<BR>ma è banale, suvvia
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<BR>scusate non mi sono trattenuto...
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
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<BR>[Premessa] Non sta di certo a me valutare certe cose [/Premessa]
<BR>Caro numerodinepero, se consideri davvero il problema così banale, ti sarei grato di postare la tua soluzione per illuminare la mia giovane mente, che sicuramente non arriverà a tanto, nel frattempo io posto, in bianco, la mia, nella speranza che qualcuno la corregga e mi dica se funge.
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<BR>Dimostrazione:
<BR><font color=white>
<BR>Tracciamo le perpendicolari condotte da M su AB e BC, chiamamo J e L i punti di intersezione con i lati, osserviamo che, per il teorema di Talete, sfruttando il fatto che AM=CM, JK=AJ, HL=CL, abbiamo quindi triangoli rettangoli congruenti e si formano dunque 2 triangoli isosceli,HCM e AMK, ora ponendo MCH=MHC=a e MAK=MKA=b abbiamo che l\'angolo KMH è 180-(360-2(a+b)), sapendo che a+b=120 abbiamo 180-(360-240)=60, quindi il triangolo KMH è isoscele con l\'angolo al vertice di 60 gradi, quindi equilatero.
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<BR>Chiedetemi lumi se non capite qualcosa, correggetemi se ergo. Ciao
"Ma devo prendere una n-upla qualsiasi o una n-upla arbitraria?" (Lui)
Una variante alla soluzione di boll .
<BR>Nei triangoli rettangoli AHC e CKA , HM e KM sono le
<BR>mediane relative all\'iponenusa comune AC e quindi:
<BR>HM=AM=MC=KM
<BR>Pertanto il triangolo HMK e\' (al momento ) isoscele su HK.
<BR>Posto ora MCH=MHC=a ,essendo BCH=30°,ne segue:
<BR>MCK=MKC=30°+a
<BR>HMA=MHC+MCH=2a
<BR>KMC=180°-(MCK+MKC)=180°-(30°+a+30°+a)=120°-2a
<BR>KMH=180°-(KMC+HMA)=180°-(120-2a+2a)=60°
<BR>In definitiva HMK e\' equilatero.
<BR>Ecco ora una mia traccia che spero sia nuova:
<BR><!-- BBCode Start --><B> Nel triangolo ABC una trasversale r taglia AB in Q , AC in S
<BR>ed il prolungamento di BC (dalla parte di C) in R .
<BR>Le circonferenze (ABC) ed (SRC) si intersecano ulteriormente in P.
<BR>Dimostrare che il quadrlatero AQSP e\' ciclico.</B><!-- BBCode End --><BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: karl il 30-09-2004 15:13 ]
<BR>Nei triangoli rettangoli AHC e CKA , HM e KM sono le
<BR>mediane relative all\'iponenusa comune AC e quindi:
<BR>HM=AM=MC=KM
<BR>Pertanto il triangolo HMK e\' (al momento ) isoscele su HK.
<BR>Posto ora MCH=MHC=a ,essendo BCH=30°,ne segue:
<BR>MCK=MKC=30°+a
<BR>HMA=MHC+MCH=2a
<BR>KMC=180°-(MCK+MKC)=180°-(30°+a+30°+a)=120°-2a
<BR>KMH=180°-(KMC+HMA)=180°-(120-2a+2a)=60°
<BR>In definitiva HMK e\' equilatero.
<BR>Ecco ora una mia traccia che spero sia nuova:
<BR><!-- BBCode Start --><B> Nel triangolo ABC una trasversale r taglia AB in Q , AC in S
<BR>ed il prolungamento di BC (dalla parte di C) in R .
<BR>Le circonferenze (ABC) ed (SRC) si intersecano ulteriormente in P.
<BR>Dimostrare che il quadrlatero AQSP e\' ciclico.</B><!-- BBCode End --><BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: karl il 30-09-2004 15:13 ]