Let c be the circumcircle ot triangle ABC and let P be a point inside c. Let\'s to project from P the points A,B,C to X,Y,Z on c. Let BCQ [Q is in the opposite midplain of A wrt line BC]a triangle direct similar to XYZ prove that APB is similar to ACQ.
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<BR>Fonte: Da mie riflessioni su un\'altro problema
<BR>Sia c il cerchio circoscritto ad ABC e P un punto interno a c, si proiettino A,B e C da P su c in X, Y e Z rispettivamente.
<BR>Se QBC [con Q dalla parte opposta di A rispetto a BC] e\' un triangolo simile ad XYZ, provare che APB e\' simile ad ACQ.
<BR>
[G] Triangoli simili
Moderatore: tutor
Ho perso un po\'di tempo sul problema e sono
<BR>giunto alla conclusione (forse errata)
<BR>che il quesito non ha validita\' generale (cioe\'
<BR>qualunque sia P ).
<BR>Con riferimento alla figura ,scegliamo ABC
<BR>equilatero,P sull\'asse t di AB ed esterno ad ABC
<BR>medesimo ma sempre interno a c.I triangoli XYZ ed ABP
<BR>risultano entrambi isosceli ed ottusangoli e tali
<BR>devono essere quindi BCQ ed ACQ.
<BR>Cio\' costringe a scegliere Q sull\'asse s
<BR>di BC.Ora su s non c\'e\' nessuna posizione di Q tale da
<BR>soddisfare le condizioni poste,a meno di non prendere
<BR>Q coincidente con O.In quest\'ultimo caso ,pero\',si
<BR>ottengono due triangoli BCO ed AOC di dimensioni
<BR>fisse e che non possono essere certo sempre simili a
<BR>XYZ ed ABP che invece variano al variare di P su t.
<BR>Naturalmente questo non esclude che il problema abbia
<BR>soluzioni per qualche particolare posizione di P.
<BR>Per esempio la cosa si verifica se P coincide col
<BR>punto medio di AC.
<BR><!-- BBCode Start --><IMG SRC="http://xoomer.virgilio.it/carlolorito/sp21.bmp"><!-- BBCode End -->
<BR>giunto alla conclusione (forse errata)
<BR>che il quesito non ha validita\' generale (cioe\'
<BR>qualunque sia P ).
<BR>Con riferimento alla figura ,scegliamo ABC
<BR>equilatero,P sull\'asse t di AB ed esterno ad ABC
<BR>medesimo ma sempre interno a c.I triangoli XYZ ed ABP
<BR>risultano entrambi isosceli ed ottusangoli e tali
<BR>devono essere quindi BCQ ed ACQ.
<BR>Cio\' costringe a scegliere Q sull\'asse s
<BR>di BC.Ora su s non c\'e\' nessuna posizione di Q tale da
<BR>soddisfare le condizioni poste,a meno di non prendere
<BR>Q coincidente con O.In quest\'ultimo caso ,pero\',si
<BR>ottengono due triangoli BCO ed AOC di dimensioni
<BR>fisse e che non possono essere certo sempre simili a
<BR>XYZ ed ABP che invece variano al variare di P su t.
<BR>Naturalmente questo non esclude che il problema abbia
<BR>soluzioni per qualche particolare posizione di P.
<BR>Per esempio la cosa si verifica se P coincide col
<BR>punto medio di AC.
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<!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>On 2004-10-03 16:48, karl wrote:
<BR>...
<BR>
<BR>Cio\' costringe a scegliere Q sull\'asse s
<BR>di BC.Ora su s non c\'e\' nessuna posizione di Q tale da
<BR>soddisfare le condizioni poste
<BR>
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>
<BR>Perche\'? A quali condizioni ri riferisci?
<BR>
<BR>Basta prendere Q sull\'asse s dalla parte opposta di A rispetto a BC in modo che angolo_in(Q) = angolo_in(Z).
<BR>
<BR>
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<BR>On 2004-10-03 16:48, karl wrote:
<BR>...
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<BR>Cio\' costringe a scegliere Q sull\'asse s
<BR>di BC.Ora su s non c\'e\' nessuna posizione di Q tale da
<BR>soddisfare le condizioni poste
<BR>
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>
<BR>Perche\'? A quali condizioni ri riferisci?
<BR>
<BR>Basta prendere Q sull\'asse s dalla parte opposta di A rispetto a BC in modo che angolo_in(Q) = angolo_in(Z).
<BR>
<BR>
<BR>
Mi riferisco al fatto che ,con la particolare scelta
<BR>da me fatta,il triangolo ACQ deve essere,come APB,
<BR>isoscele ed ottusangolo e cio\' si puo\' avere solo con Q
<BR>posto su s in una particolare posizione.Precisamente
<BR>quella in cui Q e\' nel punto A\' simmetrico di A rispetto a BC
<BR>oppure con Q in O;entrambe le posizioni portano ad un triangolo
<BR>AQC fisso che non puo\' essere simile ad ABP per ogni posizione
<BR>di P.
<BR>da me fatta,il triangolo ACQ deve essere,come APB,
<BR>isoscele ed ottusangolo e cio\' si puo\' avere solo con Q
<BR>posto su s in una particolare posizione.Precisamente
<BR>quella in cui Q e\' nel punto A\' simmetrico di A rispetto a BC
<BR>oppure con Q in O;entrambe le posizioni portano ad un triangolo
<BR>AQC fisso che non puo\' essere simile ad ABP per ogni posizione
<BR>di P.