Sia ABC un triangolo acutangolo i punti dei cui lati sono tutti colorati rossi o neri.
<BR>Provare che ci sono tre punti M,N,P monocromatici tali che il triangolo MNP e\' retto.
<BR><BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: sprmnt21 il 11-10-2004 14:54 ]
[G] triangolo monocromatico
Moderatore: tutor
<!-- BBCode Start --><B>Lascio comunque la dimostrazione che risolve il problema nel caso in cui tutti i punti interni siano colorati, ripenserò al caso \"reale\"</B><!-- BBCode End -->
<BR>
<BR>Chiamiamo ABC il generico triangolo acutangolo, per il Piegonhole abbiamo che almeno 2 vertici sono monocromatici, per convenzione chiamiamo AB il lato con gli estremi monocromatici e scegliamo come colore il nero. Chiamiamo M il punto medio di AC e N il punto medio di BC. Tracciamo la perpendicolare di piede K di N su AB e la perpendicolare di piede J da M su AB. MN parallela AB, essendo la congiungente i punti medi. MNKJ è quindi un rettangolo. Chiamiamo F il piede dell\'altezza condotta da A su BC. Chiamiamo h il piede dell\'altezza condotta da C su AB e, posto tutto questo, distinguiamo 2 casi a seconda del colore di H:
<BR>
<BR>I caso---> H nero
<BR>Se H è nero, perchè non si formino triangolo rettangoli, l\'insieme dei punti del segmento CH-{H} dev\'essere colorato di rosso. Sappiamo quindi che l\'intersezione fra AF e CH è rossa, allora comunque scelto il colore di F si forma un triangolo rettangolo.
<BR>
<BR>II caso---> H rosso
<BR>Osserviamo innanzitutto che se 3 o più punti fra i vertici del rettangolo MNJK sono monocromatici, la tesi è dimostrata. Rimane quindi da osservare il caso in cui siano 2 di un colore e 2 di un altro. Distinguiamo i seguenti sottocasi:
<BR>a) NK o MJ monocromatici---> caso banale, ricordiamo che A e B sono neri
<BR>b) MN rosso---> comunque scelta l\'intersezione fra CH e MN si ha un tr. rett.
<BR>c) JK rosso----> l\'intersezione fra MN e CH dev\'essere rossa e quindi comunque preso C si ha un tr. rett.
<BR>d) vertici delle diagonali monocromatici---> si riconduce a casi precedenti
<BR>
<BR>EDIT: Non avevo letto bene... <IMG SRC="images/forum/icons/icon27.gif"> <BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: Boll il 12-10-2004 15:40 ]
<BR>
<BR>Chiamiamo ABC il generico triangolo acutangolo, per il Piegonhole abbiamo che almeno 2 vertici sono monocromatici, per convenzione chiamiamo AB il lato con gli estremi monocromatici e scegliamo come colore il nero. Chiamiamo M il punto medio di AC e N il punto medio di BC. Tracciamo la perpendicolare di piede K di N su AB e la perpendicolare di piede J da M su AB. MN parallela AB, essendo la congiungente i punti medi. MNKJ è quindi un rettangolo. Chiamiamo F il piede dell\'altezza condotta da A su BC. Chiamiamo h il piede dell\'altezza condotta da C su AB e, posto tutto questo, distinguiamo 2 casi a seconda del colore di H:
<BR>
<BR>I caso---> H nero
<BR>Se H è nero, perchè non si formino triangolo rettangoli, l\'insieme dei punti del segmento CH-{H} dev\'essere colorato di rosso. Sappiamo quindi che l\'intersezione fra AF e CH è rossa, allora comunque scelto il colore di F si forma un triangolo rettangolo.
<BR>
<BR>II caso---> H rosso
<BR>Osserviamo innanzitutto che se 3 o più punti fra i vertici del rettangolo MNJK sono monocromatici, la tesi è dimostrata. Rimane quindi da osservare il caso in cui siano 2 di un colore e 2 di un altro. Distinguiamo i seguenti sottocasi:
<BR>a) NK o MJ monocromatici---> caso banale, ricordiamo che A e B sono neri
<BR>b) MN rosso---> comunque scelta l\'intersezione fra CH e MN si ha un tr. rett.
<BR>c) JK rosso----> l\'intersezione fra MN e CH dev\'essere rossa e quindi comunque preso C si ha un tr. rett.
<BR>d) vertici delle diagonali monocromatici---> si riconduce a casi precedenti
<BR>
<BR>EDIT: Non avevo letto bene... <IMG SRC="images/forum/icons/icon27.gif"> <BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: Boll il 12-10-2004 15:40 ]
"Ma devo prendere una n-upla qualsiasi o una n-upla arbitraria?" (Lui)
<!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>On 2004-10-12 14:39, Boll wrote:
<BR>I caso---> H nero
<BR>Se H è nero, perchè non si formino triangolo rettangoli, l\'insieme dei punti del segmento CH-{H} dev\'essere colorato di rosso. Sappiamo quindi che l\'intersezione fra AF e CH è rossa, allora comunque scelto il colore di F si forma un triangolo rettangolo.
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>
<BR>se non ho sbagliato a fare la figura, l\'intersezione tra AF e CH è interna al triangolo, quindi non è colorata. solo i punti dei lati lo sono.<BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: cekko il 12-10-2004 15:17 ]
<BR>On 2004-10-12 14:39, Boll wrote:
<BR>I caso---> H nero
<BR>Se H è nero, perchè non si formino triangolo rettangoli, l\'insieme dei punti del segmento CH-{H} dev\'essere colorato di rosso. Sappiamo quindi che l\'intersezione fra AF e CH è rossa, allora comunque scelto il colore di F si forma un triangolo rettangolo.
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>
<BR>se non ho sbagliato a fare la figura, l\'intersezione tra AF e CH è interna al triangolo, quindi non è colorata. solo i punti dei lati lo sono.<BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: cekko il 12-10-2004 15:17 ]
"...e d'un tratto capii che il pensare è per gli stupidi, mentre i cervelluti si affidano all'ispirazione e a quello che il buon Bog manda loro".
Alex, Arancia Meccanica.
Alex, Arancia Meccanica.
Ho sempre considerato che tutti i punti interni al rettangolo fossero colorati... <IMG SRC="images/forum/icons/icon27.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon27.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon27.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon27.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon27.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon27.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon27.gif">
"Ma devo prendere una n-upla qualsiasi o una n-upla arbitraria?" (Lui)
Ciao. Questo è a mio parere un problema graziosissimo. Un bravo a Sprmnt. Peccato che nessuno se ne occupi... Beh, facciamo giustizia!!
<BR>
<BR>-------------------------
<BR><font color=white><B>Lemma:</B> Dato un triangolo A1 A2 A3, esiste [unica] una terna di punti B1 B2 B3, t.c. Bi è la proiezione sul lato A(i-1) Ai di B(i-1) (gli indici vanno letti mod. 3 ovviamente...). Inoltre, tali punti appartengono all\'interno dei lati sse il triangolo è acutangolo.
<BR>
<BR>Di questo lemma mi sono venute in mente tre diverse dimostrazioni, mentre guidavo fino a casa, quindi ve lo lascio da fare...
<BR>
<BR>Dato il lemma, per il PdC, esistono due punti Bi monocromatici (diciamo per fissare le idee che B1 e B2 sono rossi). Supponiamo che non esistano tr. rettangoli mono. Allora tutti i punti di A1 A2, con l\'eccezione di B2 sono neri. Allora tutti i punti di A2 A3 e A3 A1, con l\'eccezione di A1 e A2 sono rossi. A questo punto c\'è solo l\'imbarazzo della scelta per costruire un triangolo rettangolo rosso. </font>[]
<BR>--------------------------
<BR>
<BR>Vi propongo due esercizi accessori, a margine.
<BR>
<BR>E\' interessante notare che l\'ipotesi di acutangolicità non è di comodo. Se il triangolo è ottusangolo, allora si può effettivamente colorare. E\' facile, facile. Chi ci vuole provare?
<BR>
<BR>Inoltre: chi sa costruire con riga e compasso <font color = white>il punto B1 della dimostrazione</font>?
<BR>
<BR>Un saluto a tutti.
<BR>
<BR>M.[addsig]
<BR>
<BR>-------------------------
<BR><font color=white><B>Lemma:</B> Dato un triangolo A1 A2 A3, esiste [unica] una terna di punti B1 B2 B3, t.c. Bi è la proiezione sul lato A(i-1) Ai di B(i-1) (gli indici vanno letti mod. 3 ovviamente...). Inoltre, tali punti appartengono all\'interno dei lati sse il triangolo è acutangolo.
<BR>
<BR>Di questo lemma mi sono venute in mente tre diverse dimostrazioni, mentre guidavo fino a casa, quindi ve lo lascio da fare...
<BR>
<BR>Dato il lemma, per il PdC, esistono due punti Bi monocromatici (diciamo per fissare le idee che B1 e B2 sono rossi). Supponiamo che non esistano tr. rettangoli mono. Allora tutti i punti di A1 A2, con l\'eccezione di B2 sono neri. Allora tutti i punti di A2 A3 e A3 A1, con l\'eccezione di A1 e A2 sono rossi. A questo punto c\'è solo l\'imbarazzo della scelta per costruire un triangolo rettangolo rosso. </font>[]
<BR>--------------------------
<BR>
<BR>Vi propongo due esercizi accessori, a margine.
<BR>
<BR>E\' interessante notare che l\'ipotesi di acutangolicità non è di comodo. Se il triangolo è ottusangolo, allora si può effettivamente colorare. E\' facile, facile. Chi ci vuole provare?
<BR>
<BR>Inoltre: chi sa costruire con riga e compasso <font color = white>il punto B1 della dimostrazione</font>?
<BR>
<BR>Un saluto a tutti.
<BR>
<BR>M.[addsig]
[i:2epswnx1]già ambasciatore ufficiale di RM in Londra[/i:2epswnx1]
- - - - -
"Well, master, we're in a fix and no mistake."
- - - - -
"Well, master, we're in a fix and no mistake."
@Sprmnt:
<BR>
<BR>Mah... non so nel caso tuo, ma per me il percorso è stato che le prime due dimostrazioni erano con tecniche molto poco geometriche (ma piuttosto analitiche). Solo la terza era una vera dimostrazione di geometria sintetica. Quindi poteva avere senso non solo dimostrare l\'esistenza del punto (e grazie tante), ma anche costruirlo in carne ed ossa...
<BR>
<BR>@tutti gli altri che vogliono ancora tentare il problema:
<BR>
<BR>Stiamo parlando di un punto particolare che agevola di molto la soluzione del problema, che è citato in bianco nella mia soluzione. Non mi stupirei affatto nel vedere che esistano molte altre possibili costruzioni geometriche per montare i triangoli monocromatici, che non usano affatto questo tipo di traccia, quindi il consiglio è di non farvi influenzare troppo da questa nostra chiacchierata...
<BR>
<BR>Ciao.
<BR>
<BR>M.[addsig]
<BR>
<BR>Mah... non so nel caso tuo, ma per me il percorso è stato che le prime due dimostrazioni erano con tecniche molto poco geometriche (ma piuttosto analitiche). Solo la terza era una vera dimostrazione di geometria sintetica. Quindi poteva avere senso non solo dimostrare l\'esistenza del punto (e grazie tante), ma anche costruirlo in carne ed ossa...
<BR>
<BR>@tutti gli altri che vogliono ancora tentare il problema:
<BR>
<BR>Stiamo parlando di un punto particolare che agevola di molto la soluzione del problema, che è citato in bianco nella mia soluzione. Non mi stupirei affatto nel vedere che esistano molte altre possibili costruzioni geometriche per montare i triangoli monocromatici, che non usano affatto questo tipo di traccia, quindi il consiglio è di non farvi influenzare troppo da questa nostra chiacchierata...
<BR>
<BR>Ciao.
<BR>
<BR>M.[addsig]
[i:2epswnx1]già ambasciatore ufficiale di RM in Londra[/i:2epswnx1]
- - - - -
"Well, master, we're in a fix and no mistake."
- - - - -
"Well, master, we're in a fix and no mistake."
Anche per provare se funziona anche a me lo sbianchetto.
<BR>
<BR>
<BR><!-- BBCode Start --><A HREF="http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... hp?t=17270" TARGET="_blank"> <font color=white> clikkami un po\'</font></A><!-- BBCode End -->
<BR>
<BR>
<BR>
<BR>
<BR>
<BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: sprmnt21 il 26-10-2004 09:48 ]<BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: sprmnt21 il 26-10-2004 09:49 ]
<BR>
<BR>
<BR><!-- BBCode Start --><A HREF="http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... hp?t=17270" TARGET="_blank"> <font color=white> clikkami un po\'</font></A><!-- BBCode End -->
<BR>
<BR>
<BR>
<BR>
<BR>
<BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: sprmnt21 il 26-10-2004 09:48 ]<BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: sprmnt21 il 26-10-2004 09:49 ]