La prof di matematica ci ha fatto un bel regalino per domani... risoluzione di un teorema e un problema dato all\'esame di maturità di 2 o 3 anni fà...ma noi siamo solo in 3a!! Chiedo il vostro aiuto ancora una volta..
<BR>
<BR>1)dimostrare che dato un triangolo il segmento che unisce i punti medi di due lati è parallelo al 3° ed è la metà di esso
<BR>
<BR>2)dato un qualunque triangolo ABC siano D ed E due punti interni al lato BC tali che BD=DE=EC , siano poi M e N i punti medi dei segmenti AD e AE. Dimostra che il quadrilatero DENM è un trapezio e la sua area corrisponde a 1/4 dell\'area di ABC.Ammesso che l\' area del quadrilatero è uguale a (45/2)a e AB=13a e BC=15a verificare che tale quadrilateo risulta trapezio rettangolo.
Teorema e problema di geometria!
Moderatore: tutor
<!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>On 2004-10-29 17:35, misterXo wrote:
<BR>1)dimostrare che dato un triangolo il segmento che unisce i punti medi di due lati è parallelo al 3° ed è la metà di esso
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
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<BR>Traccia tutte le congiungenti i punti medi. Applicando l\'inverso del Terema di Talete hai che la cong. i punti medi è || al terzo lato. Poi con osservazioni sugli angoli date dalla condizione di parallesismo, arrivi alla congruenza dei tre triangolini esterni.
<BR>On 2004-10-29 17:35, misterXo wrote:
<BR>1)dimostrare che dato un triangolo il segmento che unisce i punti medi di due lati è parallelo al 3° ed è la metà di esso
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<BR>Traccia tutte le congiungenti i punti medi. Applicando l\'inverso del Terema di Talete hai che la cong. i punti medi è || al terzo lato. Poi con osservazioni sugli angoli date dalla condizione di parallesismo, arrivi alla congruenza dei tre triangolini esterni.
"Ma devo prendere una n-upla qualsiasi o una n-upla arbitraria?" (Lui)
<!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>2)dato un qualunque triangolo ABC siano D ed E due punti interni al lato BC tali che BD=DE=EC , siano poi M e N i punti medi dei segmenti AD e AE. Dimostra che il quadrilatero DENM è un trapezio e la sua area corrisponde a 1/4 dell\'area di ABC.Ammesso che l\' area del quadrilatero è uguale a (45/2)a e AB=13a e BC=15a verificare che tale quadrilateo risulta trapezio rettangolo.
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
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<BR>Consideriamo il triangolo ADE, MN è congiungente dei punti medi e || al terzo lato per il Teorema che abbiamo dimostrato prima. con ciò abbiamo dimostrato che MNBE è trapezio poichè BE è sulla retta di DE. Sei sicuro che sia 15,13 e non 12,13????
<BR>Riguardo all\'area non ho voglia di fare conti e non mi viene in mente altro che \"formule delle altezze\" \"pitagora\" \" confronto con Erone\", mi sembra davvero troppo... ci sarà una via più breve...
<BR>2)dato un qualunque triangolo ABC siano D ed E due punti interni al lato BC tali che BD=DE=EC , siano poi M e N i punti medi dei segmenti AD e AE. Dimostra che il quadrilatero DENM è un trapezio e la sua area corrisponde a 1/4 dell\'area di ABC.Ammesso che l\' area del quadrilatero è uguale a (45/2)a e AB=13a e BC=15a verificare che tale quadrilateo risulta trapezio rettangolo.
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<BR>Consideriamo il triangolo ADE, MN è congiungente dei punti medi e || al terzo lato per il Teorema che abbiamo dimostrato prima. con ciò abbiamo dimostrato che MNBE è trapezio poichè BE è sulla retta di DE. Sei sicuro che sia 15,13 e non 12,13????
<BR>Riguardo all\'area non ho voglia di fare conti e non mi viene in mente altro che \"formule delle altezze\" \"pitagora\" \" confronto con Erone\", mi sembra davvero troppo... ci sarà una via più breve...
"Ma devo prendere una n-upla qualsiasi o una n-upla arbitraria?" (Lui)
Detta CL l\'altezza relativa ad AB,si ha:
<BR>CL=2*Area(ABC)/AB=2*90a^2/13a=180a/13
<BR>BL=sqrt(BC^2-CL^2)=75a/13
<BR>AL=AB-BL=94a/13
<BR>AC=sqrt(AL^2+CL^2)=2a*sqrt(61)
<BR>Se AH =12a e\' l\'altezza relativa a BC ,allora si ha:
<BR>HC=sqrt(AC^2-AH^2)=sqrt(244a^2-144a^2)=10a
<BR>Cio\' prova ,essendo anche DC=10a,che il punto D
<BR>coincide con il piede H e quindi che MD e\' perpendicolare a DE.
<BR>CL=2*Area(ABC)/AB=2*90a^2/13a=180a/13
<BR>BL=sqrt(BC^2-CL^2)=75a/13
<BR>AL=AB-BL=94a/13
<BR>AC=sqrt(AL^2+CL^2)=2a*sqrt(61)
<BR>Se AH =12a e\' l\'altezza relativa a BC ,allora si ha:
<BR>HC=sqrt(AC^2-AH^2)=sqrt(244a^2-144a^2)=10a
<BR>Cio\' prova ,essendo anche DC=10a,che il punto D
<BR>coincide con il piede H e quindi che MD e\' perpendicolare a DE.
<!-- BBCode Start --><IMG SRC="http://xoomer.virgilio.it/carlolorito/msx.bmp"><!-- BBCode End -->
<BR>Siano PQR il triangolo ed S e T i punti medi dei lati PQ e PR.
<BR>Ragioniamo per assurdo e supponiamo che ST non sia parallela a QR.
<BR>Conduciamo allora per S la parallela SV a QR ;essendo per ipotesi
<BR>PS=SQ ,per il teorema di Talete applicato al fascio di parallele
<BR>formato da SV,QR e la retta per P parallela a QR( non disegnata in
<BR>figura), sara\' pure PV=VR e cio\' proverebbe che V e\' punto medio di PR.
<BR>Ma anche T e\' per costruzione punto medio di PR , dunque si giunge ad
<BR>una contraddizione e quindi l\'unica parallela a QR e\' ST.
<BR>Per dimostrare ora che ST e\' 1/2 di QR,conduciamo la parallela SW
<BR>a PR;essendo PS=SQ,sempre per Talete (applicato ora alle parallele
<BR>SW e PR),sara\' QW=WR=1/2QR.Ora il quadrilatero SWRT,avendo il lati opposti paralleli,e\' un parallelogrammo e dunque ST=WR =1/2QR.<BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: karl il 01-11-2004 20:02 ]
<BR>Siano PQR il triangolo ed S e T i punti medi dei lati PQ e PR.
<BR>Ragioniamo per assurdo e supponiamo che ST non sia parallela a QR.
<BR>Conduciamo allora per S la parallela SV a QR ;essendo per ipotesi
<BR>PS=SQ ,per il teorema di Talete applicato al fascio di parallele
<BR>formato da SV,QR e la retta per P parallela a QR( non disegnata in
<BR>figura), sara\' pure PV=VR e cio\' proverebbe che V e\' punto medio di PR.
<BR>Ma anche T e\' per costruzione punto medio di PR , dunque si giunge ad
<BR>una contraddizione e quindi l\'unica parallela a QR e\' ST.
<BR>Per dimostrare ora che ST e\' 1/2 di QR,conduciamo la parallela SW
<BR>a PR;essendo PS=SQ,sempre per Talete (applicato ora alle parallele
<BR>SW e PR),sara\' QW=WR=1/2QR.Ora il quadrilatero SWRT,avendo il lati opposti paralleli,e\' un parallelogrammo e dunque ST=WR =1/2QR.<BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: karl il 01-11-2004 20:02 ]
Misterxo cerco di spiegarti il primo problema (se non mi sono sbagliato è molto semplice) chiamiamo ABC il triangolo generico: M è il punto medio di BC; M\' il punto medio di AC. Ora consideriamo i triangoli MM\'C e ABC. essi hanno l\'angolo c in comune mentre i lati AC e BC sono proporzionali (con lo stesso coefficiente) rispettivamente a M\'C e MC... i due triangoli sono simili. quindi hanno gli angoli uguali e da ciò deduciamo che MM\' è parallelo ad AB.
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<BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: karotto il 01-11-2004 20:28 ]<BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: karotto il 01-11-2004 20:29 ]
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<BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: karotto il 01-11-2004 20:28 ]<BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: karotto il 01-11-2004 20:29 ]
Ritengo che nel ragionamento di karotto ci sia
<BR>un errore di logica in quanto il teorema di Talete
<BR>normalmente <!-- BBCode Start --><B>precede</B><!-- BBCode End --> la similitudine.
<BR>Se cosi\' non fosse molti teoremi cadrebbero e d\'altra parte
<BR>fare la scelta inversa implicherebbe un ripensamento
<BR>generale della teoria della similitudine.
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<BR>un errore di logica in quanto il teorema di Talete
<BR>normalmente <!-- BBCode Start --><B>precede</B><!-- BBCode End --> la similitudine.
<BR>Se cosi\' non fosse molti teoremi cadrebbero e d\'altra parte
<BR>fare la scelta inversa implicherebbe un ripensamento
<BR>generale della teoria della similitudine.
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Forse non ho ben capito quello che vuoi dire karl ma il problema richiedeva solo di dimostrare che se uniamo i punti medi di due lati del triangolo otteniamo un segmento parallelo al terzo. Facendo vedere che i due triangoli sono simili mostriamo che i due triangoli hanno gli angoli uguali quindi il terzo lato e MM\' sono paralleli perchè tagliati dalla trasversale (che sarebbe uno dei lati in cui consideriamo il punto medio) formano angoli corrispondenti uguali. Non ricordo benissimo il teorema di Talete, ma penso che non c\'entri nel mio ragionamento. Ho applicato un criterio di similitudine (se non sbaglio il secondo) per arrivare al primo e giungere alla mia conclusione<BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: karotto il 02-11-2004 17:53 ]