[G] 1:2:4

[Marco]

Ciao. Era tanto che volevo postare questo pb., ma per un motivo o per un altro non ero ancora riuscito a trovare il tempo. Ci sono particolarmente affezionato, dato che è uno dei pochi che ho risolto da solo in modo brillante.
<BR>
<BR>Viene da una Cortona (1996 o 1997, vado a memoria...) e il testo dice:
<BR>
<BR>Sia ABC un triangolo in cui l\'angolo C è il doppio dell\'angolo B, che è il doppio dell\'angolo A.
<BR>
<BR>Si provi che 1/AB + 1/AC = 1/BC.
<BR>
<BR>Saluti.
<BR>
<BR>M.[addsig]

[karl]

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<BR>

[sprmnt21]

Sia c il cerchio circoscritto ad ABC e C\'(=/=C) il punto su c tale che BC=BC\'.
<BR>Indico con a l\'angolo in A, quindi 7a=180. Si ha che < AC\'C = < ABC = 2a, mentre < BC\'C = < BCC\' = < BAC = a da cui deriva che < BAC\' = < BCC\' = a cioe\' che CC\'=CA. Altrettanto facilmente si ricava che AC\'=AB.
<BR>Per Tolomeo si ha che CC\'*AB = BC*AC\' + BC\'*AC dividendo tutto per AB*BC*AC(tenendo conto delle uguaglianze provate) si ottiene la tesi.
<BR>
<BR><BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: sprmnt21 il 16-11-2004 16:41 ]

[Marco]

Gasp!!
<BR>
<BR>@Karl:
<BR>
<BR>Confesso che ti ho seguito in tutti e soli i passaggi banali. Per esser precisi:
<BR>(2)-->(3)-->(4) non mi sono chiari. [sia ben chiaro: è tutta colpa della mia ignoranza grassa]
<BR>
<BR>@Sprmnt:
<BR>
<BR>Spettacolare! Lodi, lodi, lodi. Giusto una piccola annotazione stupida: le stesse uguaglianze che hai scritto tu, si vedono anche inscrivendo un ettagono nella crf (sono diagonali corrispondenti).
<BR>
<BR>----------------------------------------
<BR>
<BR>Sapevo che i geométri del Forum non mi avrebbero deluso. E ora la soluzione di cui vado tanto fiero:
<BR>
<BR>Sia D il p.to allineato con BC t.c. AC è la bisettrice di BAD. Allora i triangoli ABD e CDA sono entrambi isosceli (due angoli uguali). Allora AD = b e CD = b-a. Per il Teo della Bisettrice a : c = b-a : b. Dividete per a e torna.[addsig]

[karl]

2)Ho moltiplicato ambo i membri della (1) per sin(2Pi/7)
<BR>3)sin(2Pi/7)=2sin(Pi/7)cos(Pi/7) (duplicazione)
<BR>4)Prostaferesi inverse a 2sin(3Pi/7)cos(Pi/7)
<BR>[dette anche formule di Werner]
<BR>Complimenti a te a sprmnt21 per le splendide soluzioni (tutte) sintetiche!!<!-- BBCode Start --><IMG SRC="null"><!-- BBCode End -->

[info]

Per quanto mi riguarda karl, anche la tua sol nn è male: io mi ero fermato a verificare l\'identità con la calcolatrice (anche se forse se avessi avuto un pò di voglia...).