[N] Diofantee a tutto spiano.

HiTLeuLeR · Messaggio da **HiTLeuLeR** » 01 gen 1970, 01:33

Problema 1: mostrare che per ogni n intero > 0, l\'equazione:
 
 <center>sumk=1...n 1/xk + prodk=1...n 1/xk = 1</center>
 ammette almeno una soluzione in numeri interi positivi (tanto per la cronaca, vi dico che il problema è di Leo Moser, chissà che non vi stuzzichi l\'appetito).
 
 
 \"L\'essenziale è invisibile agli occhi.\" ~ A. de Saint Exuperie, da Il piccolo principe [ Questo Messaggio è stato Modificato da: HiTLeuLeR il 23-11-2004 16:22 ]

sprmnt21 · Messaggio da **sprmnt21** » 01 gen 1970, 01:33

Si potreve provare a provarlo per induzione:
 
 1) e\' vero per n=1, con (l\'unica) x=2;
 
 2) supposto vera per un dato valore di n, cioe\' posto che Sn+Pn=1 (dove Sn e Pn indicano la sommatoria e la produttoria dell\'enunciato) con tutte le xi i=1,2,...,n intere positive; si verifica che anche S(n+1) +P(n+1)=1. Infatti S(n+1) = Sn + 1/x(n+1) e p(n+1) = Pn*1/x(n+1), da cui segue che x(n+1) = (1+Pn)/(1-Sn)=(1+Pn)/Pn=1+1/Pn che e\' intero positivo.

HiTLeuLeR · Messaggio da **HiTLeuLeR** » 01 gen 1970, 01:33

Un bell\'ip-ip-urrà per il collega! Ok, rilancio senza ulteriore indugio.
 
 Problema 2: determinare tutte le coppie di interi positivi (m,n) tali che:
 
 <center>1! + 2! + ... + m! = n2.</center>
 
 \"Alcune cose saranno sempre più forti del tempo e della distanza, più profonde del linguaggio e delle abitudini: seguire i propri sogni e imparare ad essere se stessi, condividendo con gli altri la magia di quella scoperta.\"
 ~ Sergio Bambaren [ Questo Messaggio è stato Modificato da: HiTLeuLeR il 23-11-2004 23:13 ]

Boll · Messaggio da **Boll** » 01 gen 1970, 01:33

<TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD>Quote:<HR></TD></TR><TR><TD><BLOCKQUOTE>
 Problema 2: determinare tutte le coppie di interi positivi (m,n) tali che:
 <center>1! + 2! + ... + m! = n2.</center>
 </BLOCKQUOTE></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE>
 
 Vediamo subito che per m>=5 la diofantea non ha soluzione, poichè 5 ha come residui quadratici -1,0,1 ma
 1!+2!+3!+4!=1+2+6+24==3 mod 5 e tutti i termini della successione sono zeri modulo 5 poichè contengono almeno un 5 come fattore, allora per ogni valore di m>=5, sumi=1,mi!==3 mod 5 e quindi non può essere un quadrato perfetto.
 Analizziamo ora i primi 4 casi e vediamo che:
 1!=12
 1!+2!=3 <-- NO
 1!+2!+3!=9=32
 1!+2!+3!+4!=33=3*11 <-- NO
 Quindi le uniche soluzioni sono (1,1) e (3,3)
 
 [ Questo Messaggio è stato Modificato da: Boll il 23-11-2004 22:29 ]

HiTLeuLeR · Messaggio da **HiTLeuLeR** » 01 gen 1970, 01:33

<TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD>Quote:<HR></TD></TR><TR><TD><BLOCKQUOTE>
 On 2004-11-23 22:23, Boll wrote:
 Vediamo subito che per n>=5 la diofantea non ha soluzione, poichè 5 ha come residui -1,0,1 ma
 1!+2!+3!+4!=1+2+6+24==3 mod 5 (tutti i termini successivi sono divisi da 5)</BLOCKQUOTE></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE>
 Ok, la tua soluzione è perfetta, anche se lievemente diversa dalla mia! Magari, però, avresti potuto scriverci m anziché n e specificare che i residui cui fai riferimento sono quadratici... non pensi che la tua soluzione ne avrebbe guadagnato in leggibilità? Che dici? Ah, è raro che ti capiti di pensare! Capissssssco... Bene, passiamo subito al successivo!!!
 
 EDIT: disgraziato, hai corretto il tuo post un istante prima che inviassi il mio, arrrrrrgh... vabbe\', ormai l\'ho scritto e non intendo cancellarlo! Ti sia di monito per il futuro, moccioso... <IMG SRC="images/forum/icons/icon_wink.gif">
 
 
 \"Quelli che impiegano male il loro tempo sono i primi a lamentarsi che passi troppo in fretta.\" - Jean de La Bruyère [ Questo Messaggio è stato Modificato da: HiTLeuLeR il 23-11-2004 22:49 ]

HiTLeuLeR · Messaggio da **HiTLeuLeR** » 01 gen 1970, 01:33

Ok, ho capito! Una bella curva ellittica e non ne riparliamo più...
 
 Problema 3: determinare tutte le coppie (x,y) di numeri razionali tali che: y2 = x3 - 3x + 2.
 
 
 \"Tutto è tentazione per chi la teme.\" - Jean de La Bruyère

sprmnt21 · Messaggio da **sprmnt21** » 01 gen 1970, 01:33

Ne trovo una parte(di soluzioni), in attesa che qualcuno (capace di ragionare su queste questioni) completi il tutto e ne approfitto per chiederti ragione del \"collega\": in che senso?
 Si ha che:
 y^2=x^3-3x+2=x^3-1-3x+3=(x-1)(x^2+x+1)-3(x-1)=(x-1)(x^2+x-2)=(x-1)(x-1)(x+2)=(x-1)^2(x+2)=y^2 da cui segue che (K^2-2, k(k^2-3)) con k intero sono tutte le soluzioni intere dell\'equazione.

HiTLeuLeR · Messaggio da **HiTLeuLeR** » 01 gen 1970, 01:33

<TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD>Quote:<HR></TD></TR><TR><TD><BLOCKQUOTE>
 On 2004-11-24 09:00, sprmnt21 wrote:
 [...] ne approfitto per chiederti ragione del \"collega\": in che senso? [...]
 </BLOCKQUOTE></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE>
 Nel senso che, per quanto mi è noto, tu come me hai studiato da ingeniere, tutto qui! In quanto alla tua soluzione, beh... se non altro, lo sforzo è apprezzabile!!! Magari io avessi il coraggio di far lo stesso con la Geometria...
 
 
 \"La realtà dell\'altro non è in ciò che ti rivela, ma in quel che non può rivelarti.
 Perciò, se vuoi capirlo, non ascoltare le parole che dice, ma quelle che trattiene nel suo cuore.\" - Gibran Kahlil, Sabbia e schiuma

sprmnt21 · Messaggio da **sprmnt21** » 01 gen 1970, 01:33

<TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD>Quote:<HR></TD></TR><TR><TD><BLOCKQUOTE>
 On 2004-11-24 19:55, HiTLeuLeR wrote:
 
 per quanto mi è noto, tu come me hai studiato da ingeniere, tutto qui! In quanto alla tua soluzione, beh... se non altro, lo sforzo è apprezzabile!!! Magari io avessi il coraggio di far lo stesso con la Geometria...
 
 </BLOCKQUOTE></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE>
 
 
 dove hai studiato? di dove sei? la soluzione in Q dell\'equazione e\' tanto piu\' complicata di quella in N?

HiTLeuLeR · Messaggio da **HiTLeuLeR** » 01 gen 1970, 01:33

Beh, forse certe domande non hanno attinenza stretta con i topic del forum, ecco... un messaggio privato, in questi casi, sarebbe generalmente preferibile, sei d\'accordo?!? Anyway, dacché lo chiedi, toh... sono calabrisello esattamente come te! Sempre che, a suo tempo, le mie fonti non mi abbiano mal informato!!! Ciò detto, torniamo al problema: non mi pare affatto che la soluzione su Q della simpatica diofantea che ho proposto sia poi così tanto più difficile della sua soluzione su Z. Ma chiaramente, prendi questa mia affermazione per quello che è: un giudizio del tutto personale...
 
 
 \"Avimu pira, patati, cipuddi i tropea, caccioffuli, paniculu, banani, cotropi, persichi, nucipersichi, cerasi, mulumi cui pizinguli, muluni cui pizanguli, pumadori pe\' sarsa, pumadori pe\' \'nsalata, livi, livi niri, livi scacciati, fungi, castagni, papatorni, buvalaci e... barbatietole da zucchero!\" - paisa\' <IMG SRC="images/forum/icons/icon_smile.gif">

Simo_the_wolf · Messaggio da **Simo_the_wolf** » 01 gen 1970, 01:33

Mi pare che per Q valga lo stesso ragionamente che per Z. Cioè noi abbiamo che x+2=(y/(x-1))² e quindi x+2 deve essere quadrato di un numero razionale. Quindi tutte e sole le soluzioni razionale sono del tipo :
 (q²-2,q*(q²-3)) con q€Q
 
 EDIT: scusate il ritardo x la correzione <IMG SRC="images/forum/icons/icon_biggrin.gif"> [ Questo Messaggio è stato Modificato da: Simo_the_wolf il 29-11-2004 23:29 ]

HiTLeuLeR · Messaggio da **HiTLeuLeR** » 01 gen 1970, 01:33

<TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD>Quote:<HR></TD></TR><TR><TD><BLOCKQUOTE>
 On 2004-11-24 22:28, Simo_the_wolf wrote:
 Mi pare che per Q valga lo stesso ragionamente che per Z. Cioè noi abbiamo che x+2=(y/(x-1))² e quindi x+2 deve essere quadrato di un numero razionale. Quindi tutte e sole le soluzioni razionali sono del tipo :
 (q²-2,q²*(q²-3)) con q€Q
 </BLOCKQUOTE></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE>
 Sì, esattamente! Peccato solo per quel quadrato... Su, correggiti!!!
 
 
 \"Colui che è saggio, lo è soltanto perché ama. E colui che è sciocco, lo è soltanto perché pensa di poter capire l\'amore.\" - Paulo Coelho, Sulle sponde del fiume Piedra mi sono seduta e ho pianto [ Questo Messaggio è stato Modificato da: HiTLeuLeR il 25-11-2004 00:16 ]

HiTLeuLeR · Messaggio da **HiTLeuLeR** » 01 gen 1970, 01:33

Problema 4: determinare tutti gli interi positivi n tali che l\'equazione:
 <center>xn + (2 + x)n + (2 - x)n = 0,</center>
 ammetta almeno una soluzione in Z.
 
 
 \"Esistono cose nella vita per le quali vale la pena di lottare solo alla fine.\" - Paulo Coelho, Sulle sponde del fiume Piedra mi sono seduta e ho pianto [ Questo Messaggio è stato Modificato da: HiTLeuLeR il 25-11-2004 00:20 ]

talpuz · Messaggio da **talpuz** » 01 gen 1970, 01:33

ok, non è il massimo, anyway...
 
 per n pari non c\'è pezza, infatti un quadrato è sempre positivo, e una somma di quadrati è zero se e solo se la base di ogni quadrato è zero
 
 quindi dovrebbe essere contemporaneamente x=0, x+2=0, x-2=0 il che chiaramente non è possibile
 
 supponiamo quindi che n sia dispari.
 
 utilizzando la nota identità
 
 xn+yn=(x+y)(xn-1-xn-2y+...+yn-1)
 
 otteniamo
 
 xn+(2+x)n+(2-x)n=
 
 (2)(xn-1-xn-2*(2-x)+...+(2-x)n-1)+(2+x)n=0
 
 da cui 2|(2+x) cioè 2|x, x=2y
 
 yn+(1+y)n+(1-y)n=0
 
 ora notiamo che y deve essere pari: infatti se fosse dispari, y+1 e y-1 sarebbero pari, e avremmo
 
 dispari+pari+pari=0, impossibile
 
 y=2z
 
 (2z)n+(2z+1)n+(1-2z)n=0
 
 sviluppiamo brutalmente i binomi
 
 (2z)n+sum(n,i)(2z)i+sum(n,i)(-1)i(2z)n-1=0
 
 semplificando il semplificabile rimane
 
 (2z)n+2(n,1)(2z)n-1+2(n,3)(2z)n-3+....+2=0
 
 e piallando un fattore 2
 
 (2n-1)(zn)+(n,1)(2z)n-1+...+1=0
 
 ma se n>1 il secondo membro è dispari, assurdo
 
 quindi c\'è soluzione solo per n=1, ma quel caso ve lo fate da soli <IMG SRC="images/forum/icons/icon_wink.gif">

HiTLeuLeR · Messaggio da **HiTLeuLeR** » 01 gen 1970, 01:33

Ok, talpuz!!! Niente chiacchiere, passiamo al successivo...
 
 Problema 5: determinare tutte le terne (x,y,z) di interi positivi tali che: (x+y)(1+xy) = 2z.
 
 
 \"I wrote a great deal... but very little of any importance; there are not more than four of five papers which I can still remember with some satisfaction.\" - H.G. Hardy [ Questo Messaggio è stato Modificato da: HiTLeuLeR il 25-11-2004 09:52 ]