Esercizi

metafisic · Messaggio da **metafisic** » 01 gen 1970, 01:33

1-Dato I={1,2,...,n}, esprimere in funzione di n, la somma dei reciproci delle cardinalità di tutti i possibili sottoinsiemi di I.
 
 2-Sia A(k)={n: n^k>=n!} essendo n e k numeri naturali.
 
 Chiamiamo a(k)=maxA(k).
 
 Dimostrare che sum(k=1...+oo)1/a(k) è
 
 divergente e che sum(k=1...+oo)1/a(k)^2 è
 
 convergente.
 
 
 3-se n=|=3(n è diverso da 3), allora
 
 1+n+n^2+n^3+n^4 non è un quadrato perfetto.
 
 I primi due quesiti sono miei e dunque non garantisco sulla loro \"olimpionicità\", il terzo pescato dal web dovrebbe essere conforme ai
 canoni.
 Auguri a tutti.

HiTLeuLeR · Messaggio da **HiTLeuLeR** » 01 gen 1970, 01:33

Oh, che bello! Il mio è il primo post del 2005? Beh, speriamo sia un fatto di buon auspicio per tutti, ghgh... Vabbe\', ho capito, me ne sto zitto! <IMG SRC="images/forum/icons/icon_mad.gif">
 
 <TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD>Quote:<HR></TD></TR><TR><TD><BLOCKQUOTE>
 On 2004-12-31 19:22, metafisic wrote:
 1-Dato In = {1,2,...,n}, esprimere in funzione di n, la somma dei reciproci delle cardinalità di tutti i possibili sottoinsiemi di I.
 </BLOCKQUOTE></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE>
 Mah, qualcosa non mi torna... Innanzitutto, qualunque sia n € N0, il vuoto è un sottoinsieme di In, eppure 1/0 non è una scrittura cui, specificamente in questo contesto, mi riesca di attribuire un qualche senso compiuto... Un po\' più di rigore, giulio caro, te ne prego! <IMG SRC="images/forum/icons/icon_razz.gif">
 
 A parte queste \"piccolezze\", mi chiedo se il nostro caro metafisic non abbia anche commesso un errore di formulazione, ché così com\'è impostato il problema mi sembra tutt\'altro che di semplice soluzione. Boh, probabilmente so\' io che so\' limitato, che volete che vi dica...
 
 ----------------
 
 Poniamo infatti Tn := sumS 1/|S|, ove la somma si intende estesa a tutti e soli i sottoinsiemi non vuoti di In. E allora, dacché per ogni k = 1, 2, ..., n esistono esattamente Bin(n,k) sottoinsiemi distinti di In di cardinalità pari a k, essendo Bin(n,k) il coeff. binomiale n su k, si scrive che: Tn = sumk=1...n (Bin(n,k))/k.
 
 Mi pare tuttavia improbabile che la sommatoria indicata possa essere espressa - con tutte le virgolette del caso - in cosiddetta \"forma chiusa\"...
 
 Sia come sia, volevo far notare che, ponendo piuttosto Tn := sumS 1/(1+|S|), ove la somma è adesso estesa a tutti e soli i sottoinsiemi di In, compreso il vuoto, risulta che:
 
 <center>Tn = sumk=1...n (Bin(n,k))/(1+k) = sumk=1...n (Bin(n,k)) · int[0...1] tk dt</center>
 sicché, sfruttando la linearità dell\'integrale e il th. del binomiale di Newton:
 
 <center>Tn= int[0..1] (1+t)n dt = (2n+1 - 1)/(n+1).</center>
 Per inciso, si noti che questa relazione è valida pure nel caso n = 0.
 
 -----------
 
 Ebbene, sapreste spiegarmi a questo punto perché ho come il vago sospetto che il nostro amato giulio abbia ca**ato la traccia del problema...?!?
 Baaah, staremo a vedere!!! Per il momento... Ciao, giulio, e smettila di distribuire \"baci\" a destra e a manca, ghei... <IMG SRC="images/forum/icons/icon_confused.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_eek.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_biggrin.gif">
 
 EDIT: imperdonabile, quasi dimenticavo! AUGURI, raga, di un anno costellato di successi e dipinto dei colori della felicità, auguri dal profondo del mio cuore. Anche a te, giulio, anche a te... E pure al mio \"giullare\" preferito! <IMG SRC="images/forum/icons/icon_wink.gif">
 
 ~ Salvatore Tringali [ Questo Messaggio è stato Modificato da: HiTLeuLeR il 01-01-2005 03:35 ]

HiTLeuLeR · Messaggio da **HiTLeuLeR** » 01 gen 1970, 01:33

<TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD>Quote:<HR></TD></TR><TR><TD><BLOCKQUOTE>
 On 2004-12-31 19:22, metafisic wrote:
 2-Sia Ak := {n: n^k>=n!} essendo n e k numeri naturali. Chiamiamo ak = max Ak.
 
 Dimostrare che sumk=1...+inf 1/ak è divergente e che sumk=1...+inf 1/ak2 è convergente.
 </BLOCKQUOTE></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE>
 Osserviamo innanzitutto che il problema è ben posto, dacché, per ogni k € N0, Ak è un sottoinsieme non vuoto e superiormente limitato di N, come si deduce osservando che 0 ed 1 sono elementi di Ak e rammentando, d\'altro canto, che il rapporto nk/n! è infinitesimo per n tendente a +inf.
 
 Ciò premesso, ammettiamo per il seguito k > 0. E allora: kk = prodi=1...k k >= prodi=1...k i = k!, cosicché: k € Ak, e di conseguenza: ak := max Ak >= k.
 
 D\'altra parte, è anche vero che, per ogni m € N0: mm <= m! · (2m-1)!!, ove (2m-1)!! denota qui l\'emifattoriale di 2m-1, cioè il prodotto di tutti i dispari interi positivi minori di o uguali a 2m-1. Banalmente, infatti, per ogni i = 1, ..., m:
 m <= i · (2(m-i)+1), e perciò - moltiplicando membro a membro:
 
 <center>mm = prodi=1...m m <= prodi=1...m i · (2(m-i)+1) = m! · (2m-1)!!.</center>
 Da qui: kk <= k! · (2k-1)!!, e conseguentemente:
 
 <center>(2k)k = 2k · kk <= 2k · k! · (2k-1)!! = (2k)!! · (2k-1)!! = (2k)!.</center>
 Ne fa seguito - in definitiva - che, per ogni k intero > 0: k <= ak <= 2k.
 
 Ergo, per ogni arbitrario t € R, la serie sumk=1...+inf 1/akt ha lo stesso carattere dell\'armonica generalizzata sumk=1...+inf 1/kt, e come tale è divergente a +inf per t <= 1, convergente per t > 1.
 
 EDIT: avevo quotato pure la traccia del primo problema, imperdonabile!!! [ Questo Messaggio è stato Modificato da: HiTLeuLeR il 01-01-2005 19:11 ]

metafisic · Messaggio da **metafisic** » 01 gen 1970, 01:33

Gulp!!Mea culpa...hai proprio ragione salvo, a volte so come essere inutile <IMG SRC="images/forum/icons/icon_wink.gif">
 
 L\'esercizio a cui pensavo in realtà chidede questo:
 
 Detto I={1, 2,..., n}, consideriamo tutti i suoi possibili sottoinsiemi eccetto
 
 quello vuoto. Per ogni A(k) sottoinsieme di I, sia a(k)=prod(n(1)...n(r)), il
 
 prodotto essendo esteso a tutti gli elementi di A(k).
 
 Calcolare la somma dei reciproci di a(k).
 
 Scusa di nuovo per gli inutili contacci a cui involontariamente ti ho sottoposto <IMG SRC="images/forum/icons/icon_razz.gif">

HiTLeuLeR · Messaggio da **HiTLeuLeR** » 01 gen 1970, 01:33

Sì, confermo, sei proprio inutile!!! <IMG SRC="images/forum/icons/icon_mad.gif">
 
 Me dio, mi spieghi com\'è possibile confondere due problemi così diversi?!? Giuro, per quanto io mi sforzi, davvero non mi riesce di comprenderlo... <IMG SRC="images/forum/icons/icon_confused.gif">
 
 Per caso ti si sono spenti anche gli ultimi neuroni?!? Cos\'è, non trovandogli altro impiego, la mamma li ha riciclati come luci per l\'abete di Natale?!? <IMG SRC="images/forum/icons/icon_eek.gif">
 
 Sei INUTILE, giulio, non mi stancherò mai di ripeterlo! Ciao...
 
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 P.S.: n. <IMG SRC="images/forum/icons/icon21.gif">

HiTLeuLeR · Messaggio da **HiTLeuLeR** » 01 gen 1970, 01:33

<TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD>Quote:<HR></TD></TR><TR><TD><BLOCKQUOTE>
 On 2005-01-01 17:47, metafisic wrote:
 Detto In={1, 2,..., n}, consideriamo tutti i suoi possibili sottoinsiemi eccetto quello vuoto. Per ogni A(k) sottoinsieme di I, sia a(k)=prod(n(1)...n(r)), il prodotto essendo esteso a tutti gli elementi di A(k).
 
 Calcolare la somma dei reciproci di a(k).
 </BLOCKQUOTE></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE>
 Un macaco femmina dell\'Africa subequatoriale avrebbe saputo esprimersi meglio, ma vabbe\'... Hai dalla tua il fatto che l\'evoluzione della specie non ha ancora bussato alla tua porta! Tranquillo, per questa volta ti risparmio... <IMG SRC="images/forum/icons/icon_biggrin.gif">
 
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 Per ogni n intero > 0, sia dunque In := {1, 2, ..., n}. Essendo S un arbitrario sottoinsieme non vuoto di In, poniamo dunque pS := proda € S a, ove il prodotto s\'intende esteso a tutti e soli gli elementi di S. Si tratta perciò di calcolare in \"forma chiusa\" la sommatoria sn := sumS c In pS, estesa quest\'ultima a tutti e soli i sottoinsiemi non vuoti di In. Mostreremo che: sn = n, per ogni n € N0.
 
 Ragioniamo per induzione. Se n = 1, l\'asserto è banalmente soddisfatto, ché l\'unico sottoinsieme non vuoto di I1 è appunto I1 stesso, e allora:
 
 oooos1 = sumS c I1 pS = pI1 = 1/1 = 1.
 
 Ammettiamo a questo punto la consistenza della tesi per un generico n € N0, e osserviamo di conseguenza che, per le proprietà elementari della somma:
 
 oooosn+1 := sumS c In+1 pS = sumS c In pS + sum\'S c In+1 pS
 
 ove l\'apice apposto alla seconda sommatoria vuol indicare ch\'essa è estesa a tutti e soli i sottoinsiemi non vuoti di In+1 che contengono l\'elemento n+1. Ergo:
 
 oooosum\'S c In+1 pS = 1/(n+1) + 1/(n+1) · sumS c In pS
 
 e perciò, sul presupposto dell\'ipotesi induttiva:
 
 oooosn+1 = sumS c In pS + sum\'S c In+1 pS =
 
 oooosn+1 = n + 1/(n+1) + 1/(n+1) · n = n + (1/(n+1)) · (n+1) = n+1
 
 Di qui l\'asserto, per induzione su n. Può bastare o ci dirai di aver sbagliato una volta ancora la traccia del problema, eeeh?!? Ridicolo essere inutile... <IMG SRC="images/forum/icons/icon_razz.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_confused.gif"> [ Questo Messaggio è stato Modificato da: HiTLeuLeR il 01-01-2005 22:07 ]

metafisic · Messaggio da **metafisic** » 01 gen 1970, 01:33

Uff...mi bistratti sempre!
 
 <IMG SRC="images/forum/icons/icon_razz.gif">
 
 Beh, ero confuso quando ho scritto il problema, biblicamente parlando, ovviamente. Questo, nella sua prima formulazione, era più semplice da scrivere ed oltre ad essere inutile sono anche pigro;il fatto
 poi che era completamente diverso da quello a cui avevo pensato, beh...mea culpa <IMG SRC="images/forum/icons/icon_mad.gif">
 
 Sto ancora sbattendo la capoccia sulla convergenza della serie 1/ph(n)^x.
 
 Restingenola ai primi, sfruttando la prova dell\'infinità dei primi alla Eulero(cioè sum 1/p diverge), concludo che è divergente per x<=1.
 Piuttosto, conosci uno sviluppo asintotico della tua funzioncina preferita, che se fosse una donna già l\'avresti stuprata?
 A presto.[addsig]

HiTLeuLeR · Messaggio da **HiTLeuLeR** » 01 gen 1970, 01:33

<TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD>Quote:<HR></TD></TR><TR><TD><BLOCKQUOTE>
 On 2005-01-01 20:17, metafisic wrote:
 Sto ancora sbattendo la capoccia sulla convergenza della serie 1/ph(n)^x.
 Restingenola ai primi, sfruttando la prova dell\'infinità dei primi alla Eulero (cioè sum 1/p diverge), concludo che è divergente per x<=1.
 Piuttosto, conosci uno sviluppo asintotico della tua funzioncina preferita, che se fosse una donna già l\'avresti stuprata?
 </BLOCKQUOTE></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE>
 Suppongo tu ti riferisca ad un problema che io stesso avevo proposto qualche tempo fa (clicca <a href=\"http://olimpiadi.ing.unipi.it/modules.p ... ">qui</a>). Beh, se ti interessano gli sviluppi asintotici della totiente, posso pure suggerirtene un paio, ma... Sinceramente, non è necessario ricorrere ai precetti della Teoria Analitica dei Numeri per risolvere un problema di portata così modesta! Via, giulio, su... Datte \'na botta(1) e svejate!!!
 
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 (1): non ci pensare nemmeno, lurido pervertito... <IMG SRC="images/forum/icons/icon_mad.gif"> [ Questo Messaggio è stato Modificato da: HiTLeuLeR il 01-01-2005 22:06 ]