bocconi 2005, una somma da 24 milioni
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bocconi 2005, una somma da 24 milioni
MindFlyer ha spostato questo scempio di thread.
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eccovi l'infame quesito che ieri m'ha tormentato ai giochi bocconi.
anche adesso la soluzione non mi è chiara per niente, quindi lo do volentieri in pasto agli squali del sito, buon divertimento.
scritti in fila gli interi da 1 a 2005, cancellate i primi due e scrivete in fondo la loro somma. reiterate il procedimento finchè non rimane un solo numero.
qual'è la somma di tutti i numeri scritti (compresi i primi 2005)?
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eccovi l'infame quesito che ieri m'ha tormentato ai giochi bocconi.
anche adesso la soluzione non mi è chiara per niente, quindi lo do volentieri in pasto agli squali del sito, buon divertimento.
scritti in fila gli interi da 1 a 2005, cancellate i primi due e scrivete in fondo la loro somma. reiterate il procedimento finchè non rimane un solo numero.
qual'è la somma di tutti i numeri scritti (compresi i primi 2005)?
Per ogni $ k\in\mathbb{N} $, sia $ \displaystyle s_k := \sum_{i=0}^{2k} i = k(2k+1) $. E allora, posto $ \displaystyle S := \sum_{i=1}^{2005} i = 2005\cdot 1003 $, il quesito chiede d'esprimere in forma chiusa la somma $ \displaystyle \sigma := \sum_{k=0}^{1002} (S - s_k) = 1003\cdot S - $ $ \displaystyle\sum_{k=1}^{1002} k(2k+1) = 1003\cdot S - 2\cdot \sum_{k=1}^{1002} k^2 - 501\cdot 1003 $. E siccome, per ogni $ n\in\mathbb{N} $: $ \displaystyle\sum_{i=0}^{n} i^2 = \dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6} $, fatti due conti si trova (modulo errori inattesi e con un po' di pazienza... ): $ \sigma = 1003^2\cdot 2005 - 334 \cdot 1003 \cdot 2005 - 501\cdot 1003 = $ $ 1003 \cdot (669 \cdot 2005 - 501) = 1344866532 $.
Ultima modifica di HiTLeuLeR il 15 mag 2005, 11:43, modificato 1 volta in totale.
ora, la domanda è: "cosa si fuma euler?"
dunque, osservazione: la somma totale dei numeri resta costante, perché tu togli due numeri e aggiungi la somma.
l'ultimo numero rimasto sarà la somma di tutti i numeri scritti all'inizio.
ora, gauss docet: $ 1+2+\cdots+2005 = {2006\cdot2005\over2} = 2011015 \mod erroridicalcolo $.
dunque, osservazione: la somma totale dei numeri resta costante, perché tu togli due numeri e aggiungi la somma.
l'ultimo numero rimasto sarà la somma di tutti i numeri scritti all'inizio.
ora, gauss docet: $ 1+2+\cdots+2005 = {2006\cdot2005\over2} = 2011015 \mod erroridicalcolo $.
E a questa ci aggiungerei pure: "Quand'è che il nostro ma_go si risolverà di cambiare pusher?" Davvero circola roba pesante, laggiù nel borgo di Pisa, se il tuo radioso nume Matematico si rivela così confuso nei pur tenui vapori dell'ora meridiana... Che Dio possa aver pietà della tua anima, mio caro, perch'io non intendo averne della tua impudenza!ma_go ha scritto:ora, la domanda è: "cosa si fuma euler?"
Qualcuno mi fa notare che ho probabilmente frainteso completamente la traccia del problema!!!jabberwocky ha scritto:[...] Scritti in fila gli interi da 1 a 2005, cancellate i primi due e scrivete in fondo la loro somma. [...]
Uhmmm... Dunque si scrive in fondo la somma degli interi cancellati ad ogni nuova iterazione? No, lo chiedo perch'io avevo inteso tutt'altra roba (e mi rendo conto che forse ho sbagliato di brutto!!!):
somma <---- 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + ... + 2005
+ somma <-- 3 + 4 + 5 + 6 + ... + 2005
+ somma <-- 5 + 6 + ... + 2005
... ... ... ... ...
+ somma <-- 2005
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= Totale
Me lo sono inventato, vero?!? Sono un tipo fantasioso, però, suvvia...
Io proverei a dividere il tutto in "passate". Chiamo S la sommatoria dei primi 2005 numeri...
1a passata:
ottengo 1003 numeri:
2005-3-7-11-15-19-23-27...3999-4003-4007
ho scritto (S-2005)
2a passata:
ottengo 502 numeri:
4007-2008-18-34-50-66-...-7970-7986 - 8002
ho scritto (S-4007)
3a passata
ottengo 251 numeri:
6015-52-116...- 15988
ho scritto (S)
4a passata
ottengo 126 numeri
15988-6067-372-500-...- 31976
ho scritto (S-15988)
5a passata
ottengo 63 numeri
ho scritto (S)
e così via (ora nn faccio i calcoli dato che cmq li sbaglierei)... si nota cmq che le serie di numeri scritti contengono serie aritmetiche di ragione 4,16,64,256,1024,4096... (per semplificare i calcoli)
alternativamente ad ogni passata o si somma S se i numeri rimasti sono pari oppure si somma S-tot se sono dispari... da notare che la 6a passata è l'ultima che pone problemi, dato che dopo si ottiene 32, che è una potenza di 2...
Se è esatto il proc, pare il solito es Bocconi ultracalcoloso... (tipo quello appena postato da Biagio in combinatoria)...
1a passata:
ottengo 1003 numeri:
2005-3-7-11-15-19-23-27...3999-4003-4007
ho scritto (S-2005)
2a passata:
ottengo 502 numeri:
4007-2008-18-34-50-66-...-7970-7986 - 8002
ho scritto (S-4007)
3a passata
ottengo 251 numeri:
6015-52-116...- 15988
ho scritto (S)
4a passata
ottengo 126 numeri
15988-6067-372-500-...- 31976
ho scritto (S-15988)
5a passata
ottengo 63 numeri
ho scritto (S)
e così via (ora nn faccio i calcoli dato che cmq li sbaglierei)... si nota cmq che le serie di numeri scritti contengono serie aritmetiche di ragione 4,16,64,256,1024,4096... (per semplificare i calcoli)
alternativamente ad ogni passata o si somma S se i numeri rimasti sono pari oppure si somma S-tot se sono dispari... da notare che la 6a passata è l'ultima che pone problemi, dato che dopo si ottiene 32, che è una potenza di 2...
Se è esatto il proc, pare il solito es Bocconi ultracalcoloso... (tipo quello appena postato da Biagio in combinatoria)...
Possibile che abbia frainteso completamente il problema, ma per come l'ho capito io il risultato dovrebbe essere 2011015, ossia la somma dei primi 2005 numeri, dato che alla fin fine lo spostare in fondo la somma di due numeri al posto di questi ultimi e ripetere il procedimento è solamente un modo per commutare e associare diversamente gli addendi. Godendo la somma in $ \mathbb{N} $ della proprietà associativa e commutativa...
Ma si sa almeno quanto dovrebbe essere il risultato?
Ma si sa almeno quanto dovrebbe essere il risultato?
Fondatore: [url=http://olimpiadi.dm.unipi.it/oliForum/viewtopic.php?t=8899]Associazione non dimenticatevi dei nanetti![/url]
Membro: Club Nostalgici
Sono troppo scarso in italiano per usare parole con la c o la q...
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