dunque alleniamoci un po':
Calcolare elementarmente :
$ \displaystyle \int\frac {sin\ 2x}{x } dx $
o si può fare solo con il metodo per serie?
integrale del seno
-
carro bestiame
- Messaggi: 77
- Iscritto il: 02 mag 2005, 12:26
-
MindFlyer
Prima bisogna mettersi d'accordo su cosa si intende per "elementarmente".carro bestiame ha scritto:come si fa a sapere che elementarmente non si puo' trovare la primitiva?
Il metodo per serie consiste nello scrivere la funzione come serie di Taylor, ed integrare i termini della serie. Esiste un teorema che ci assicura che l'integrale della serie (definito come serie degli integrali degli addendi) coincide con l'integrale della funzione.
Purtroppo devo confessare che non conosco la dimostrazione che l'integrale di sinx/x non sia calcolabile elementarmente.
So è che è risaputo, tanto che viene usata nel corso di analisi come esempio di funzioni non integrabili elementarmente.
Ora per "non integrabile elementarmente" s'intende che la primitiva non è esprimibile come combinazione e/o composizione di un numero finito di funzioni elementari conosciute dall'analisi.
So è che è risaputo, tanto che viene usata nel corso di analisi come esempio di funzioni non integrabili elementarmente.
Ora per "non integrabile elementarmente" s'intende che la primitiva non è esprimibile come combinazione e/o composizione di un numero finito di funzioni elementari conosciute dall'analisi.
So gia` quale sara` la prossima domanda: "Chi sono le funzioni elementari conosciute dall'analisi"?rargh ha scritto:Ora per "non integrabile elementarmente" s'intende che la primitiva non è esprimibile come combinazione e/o composizione di un numero finito di funzioni elementari conosciute dall'analisi.
Bé per esempio x^a con a reale, sin(x), cos(x), tg(x), cotg(x), e^ax con a reale (o perché no, complesso), arcsin(x), arccos(x), arctg(x), arcctg(x), ln(x)...anf anf....spero di averle dette tutte. Piuttosto qualcuno conosce una dimostrazione del perché non si può trovare una primitiva "elementare" di sin(x)/x ?
In verità non serve affatto: ci hanno pensato già i *Matematici* a mettersi d'accordo in proposito...MindFlyer ha scritto: Prima bisogna mettersi d'accordo su cosa si intende per "elementarmente".
Mi spiace, ma sei davvero ben lungi dall'averle dette tutte...rargh ha scritto:Bé per esempio x^a con a reale, sin(x), cos(x), tg(x), cotg(x), e^ax con a reale (o perché no, complesso), arcsin(x), arccos(x), arctg(x), arcctg(x), ln(x)...anf anf....spero di averle dette tutte. Piuttosto qualcuno conosce una dimostrazione del perché non si può trovare una primitiva "elementare" di sin(x)/x ?
Nella definizione di Shanks e Chow, tutte e sole le funzioni $ f(\cdot): X\subseteq \mathbb{C} \mapsto \mathbb{C} $, con $ X \neq \emptyset $, ottenute combinando e componendo un numero finito di volte, mediante le operazioni di campo (addizione, moltiplicazione ed estrazione di radice), le funzioni algebriche, le esponenziali, le logaritmiche e le loro inverse.Vasya ha scritto:"Chi sono le funzioni elementari conosciute dall'analisi"?
-
MindFlyer
Sì, ok, ma noi non siamo Matematici, con o senza asterischi, ed io conosco almeno 2 accezioni di "elementare". Di cui una, che è quella approvata da questo forum, esclude che un qualunque integrale sia calcolabile elementarmente (il che renderebbe insensata la richiesta iniziale di carro bestiame).HiTLeuLeR ha scritto:In verità non serve affatto: ci hanno pensato già i *Matematici* a mettersi d'accordo in proposito...MindFlyer ha scritto: Prima bisogna mettersi d'accordo su cosa si intende per "elementarmente".
-
carro bestiame
- Messaggi: 77
- Iscritto il: 02 mag 2005, 12:26
Poiché le primitive di una data funzione differiscono tutte per un'arbitraria costante additiva, possiamo ben dunque limitarci a ragionare della mappa $ \displaystyle\mbox{Si}(\cdot):\mathbb{R}\mapsto\mathbb{R}:x\mapsto\int_0^x \dfrac{\sin t}{t}dt $.
Poniamo $ \mathcal{I} := [0, x] $, se $ x \geq 0 $; $ \mathcal{I} := [x, 0] $, se $ x < 0 $. Dallo sviluppo in serie di Taylor-Mac Laurin del seno circolare, per ogni $ t\in\mathbb{R} $: $ \displaystyle\frac{\sin t}{t} = \sum_{k=0}^{+\infty} (-1)^{k} \frac{t^{2k}}{(2k+1)!} $, e la serie di funzioni a secondo membro, dacché maggiorata in modulo dalla serie numerica convergente $ \displaystyle\sum_{k=0}^{+\infty} \frac{|x|^{2k}}{(2k+1)!} $, quando $ 0 \leq t \leq |x| $, è totalmente convergente in $ \mathcal{I} $, e quindi ivi uniformemente convergente, per consistenza con il criterio di Weierstrass.
Tanto basta per concludere che la medesima serie di funzioni è pure integrabile termine a termine in $ \mathcal{I} $, cosicché in ultima analisi: $ \displaystyle\mbox{Si}(x) = \sum_{k=0}^{+\infty} \int_0^x (-1)^{k} \frac{t^{2k}}{(2k+1)!} dt $ $ \displaystyle= \sum_{k=0}^{+\infty} (-1)^{k} \frac{x^{2k+1}}{(2k+1)\cdot (2k+1)!} $. Uh, direi che ci siamo...
Poniamo $ \mathcal{I} := [0, x] $, se $ x \geq 0 $; $ \mathcal{I} := [x, 0] $, se $ x < 0 $. Dallo sviluppo in serie di Taylor-Mac Laurin del seno circolare, per ogni $ t\in\mathbb{R} $: $ \displaystyle\frac{\sin t}{t} = \sum_{k=0}^{+\infty} (-1)^{k} \frac{t^{2k}}{(2k+1)!} $, e la serie di funzioni a secondo membro, dacché maggiorata in modulo dalla serie numerica convergente $ \displaystyle\sum_{k=0}^{+\infty} \frac{|x|^{2k}}{(2k+1)!} $, quando $ 0 \leq t \leq |x| $, è totalmente convergente in $ \mathcal{I} $, e quindi ivi uniformemente convergente, per consistenza con il criterio di Weierstrass.
Tanto basta per concludere che la medesima serie di funzioni è pure integrabile termine a termine in $ \mathcal{I} $, cosicché in ultima analisi: $ \displaystyle\mbox{Si}(x) = \sum_{k=0}^{+\infty} \int_0^x (-1)^{k} \frac{t^{2k}}{(2k+1)!} dt $ $ \displaystyle= \sum_{k=0}^{+\infty} (-1)^{k} \frac{x^{2k+1}}{(2k+1)\cdot (2k+1)!} $. Uh, direi che ci siamo...
-
carro bestiame
- Messaggi: 77
- Iscritto il: 02 mag 2005, 12:26
Cosa intendi quando parli del "calcolo"?!? Si è già discusso del fatto che non esiste alcun modo di esprimere quell'integrale per via di funzioni elementari dell'Analisi. Dunque che altro vai cercando?carro bestiame ha scritto:[...] in ogni caso non c'è un procedimento meno teorico per il calcolo di quell'integrale?
Ti sbagli! Quell'è *soltanto* una rappresentazione per serie della funzione seno integrale, tutto lì... Ad esempio si può usarla per stimare, con precisione arbitraria, il valore che la funzione anzidetta assume in corrispondenza di questo o quell'altro punto del suo dominio. Del resto, se ti chiedessi di calcolarmi con la precisione di 10 cifre decimali $ \sin 1 $, tu come procederesti, carro? E lascia stare calcolatrici e calcolatori...carro bestiame ha scritto:Mi pare che hai trovato una formula per ricorrenza...
