[spostato in MNE -- talpuz]
c'è qualcuno che potrebbe aiutarmi con questo problemino?
dimostrare che se X1 e X2 sono variabili aleatorie indipendenti con distribuzione di poisson i cui parametri sono m1 e m2, allora X1+X2 ha una distribuzione di poisson con parametro m1+m2
variabili di poisson
Allora:
Siano
$ X_1, X_2 $ variabili aleatorie Poissoniane. Ricordiamo che una distribuzione Poissoniana è una distribuzione discreta.
Quindi sappiamo che:
$ \displaystyle P(X_1 = n) = e^{-m_1}{m_1^n \over n!} $
$ \displaystyle P(X_2 = n) = e^{-m_2}{m_2^n \over n!} $
Dobbiamo studiare la variabile casuale somma... una facile considerazione iniziale: se voglio che $ X_1 + X_2 = 3 $ ad esempio, avrò che sono "buone" le coppie di valori (0,3) - (1,2) - (2,1) - (3-0). Quindi dovrò sommare le varie probabilità.
In sintesi risulta:
$ \displaystyle P(X_1 + X_2 = n) = \sum_0^n \left(e^{-m_1}{m_1^k \over k!}\right) \cdot \left(e^{-m_2}{m_2^{n-k} \over (n - k)!}\right) = $
$ \displaystyle = e^{-(m_1 + m_2)} \cdot \sum_0^n {m_1^k \cdot m_2^{n-k} \over k!(n-k!)} \cdot {n! \over n!} $
Ricordandosi ora che:
$ \displaystyle \left( \begin{array}{l} n \\ k \\ \end{array}\right) = {n! \over k!(n-k)! $
e che:
$ \displaystyle \sum_0^n \left( \begin{array}{l} n \\ k \\ \end{array}\right)a^kb^{n-k} = (a + b)^n $
otteniamo la tesi:
$ \displaystyle P(X_1 + X_2 = n) = e^{-(m_1 + m_2)} \cdot {(m_1 + m_2)^n \over n!} $
[spero di non aver fatto errori copiando i conti in LaTeX...]
Siano
$ X_1, X_2 $ variabili aleatorie Poissoniane. Ricordiamo che una distribuzione Poissoniana è una distribuzione discreta.
Quindi sappiamo che:
$ \displaystyle P(X_1 = n) = e^{-m_1}{m_1^n \over n!} $
$ \displaystyle P(X_2 = n) = e^{-m_2}{m_2^n \over n!} $
Dobbiamo studiare la variabile casuale somma... una facile considerazione iniziale: se voglio che $ X_1 + X_2 = 3 $ ad esempio, avrò che sono "buone" le coppie di valori (0,3) - (1,2) - (2,1) - (3-0). Quindi dovrò sommare le varie probabilità.
In sintesi risulta:
$ \displaystyle P(X_1 + X_2 = n) = \sum_0^n \left(e^{-m_1}{m_1^k \over k!}\right) \cdot \left(e^{-m_2}{m_2^{n-k} \over (n - k)!}\right) = $
$ \displaystyle = e^{-(m_1 + m_2)} \cdot \sum_0^n {m_1^k \cdot m_2^{n-k} \over k!(n-k!)} \cdot {n! \over n!} $
Ricordandosi ora che:
$ \displaystyle \left( \begin{array}{l} n \\ k \\ \end{array}\right) = {n! \over k!(n-k)! $
e che:
$ \displaystyle \sum_0^n \left( \begin{array}{l} n \\ k \\ \end{array}\right)a^kb^{n-k} = (a + b)^n $
otteniamo la tesi:
$ \displaystyle P(X_1 + X_2 = n) = e^{-(m_1 + m_2)} \cdot {(m_1 + m_2)^n \over n!} $
[spero di non aver fatto errori copiando i conti in LaTeX...]
"E se si sono rotti i freni?"
"Se si sono rotti i freni non ci resta che l'autostop e il viaggio si complica. Faremo il giro del mondo a piedi."
"Se si sono rotti i freni non ci resta che l'autostop e il viaggio si complica. Faremo il giro del mondo a piedi."
Sia $ X $ una variabile aleatoria, allora la funzione generatrice di X è
$ G_X(t)=\mathbb{E}(t^X) $.
E' facile dimostrare che, se X,Y sono variabili aleatorie indipendenti, si ha
$ G_{X+Y}(t)=G_X(t)G_Y(t) $
inoltre, se X ha distribuzione di Poisson di parametro a, si ha
$ G_X(t)=e^{a(t-1)} $
Quindi se X,Y sono di Poisson di parametri a,b si ha
$ G_{X+Y}(t)=e^{a(t-1)}e^{b(t-1)}=e^{(a+b)(t-1)} $
e quindi X+Y è di Poisson di parametro a+b.
Certo, la dimostrazione di Alex è molto meno "calata dall'alto", ma le funzioni generatrici sono così comode...
$ G_X(t)=\mathbb{E}(t^X) $.
E' facile dimostrare che, se X,Y sono variabili aleatorie indipendenti, si ha
$ G_{X+Y}(t)=G_X(t)G_Y(t) $
inoltre, se X ha distribuzione di Poisson di parametro a, si ha
$ G_X(t)=e^{a(t-1)} $
Quindi se X,Y sono di Poisson di parametri a,b si ha
$ G_{X+Y}(t)=e^{a(t-1)}e^{b(t-1)}=e^{(a+b)(t-1)} $
e quindi X+Y è di Poisson di parametro a+b.
Certo, la dimostrazione di Alex è molto meno "calata dall'alto", ma le funzioni generatrici sono così comode...