Salve a tutti... sto studiando haimè il rango di una matrice!!!
quando ad un certo punto mi trovo un esercizio che mi dice questo:
Considerata la matrice A=
1 2 5 0 -1
7 4 9 -2 3
-2 1 6 2 5
0 -5 2 1 4
vogliamo determinare il minore di ordine 3 di A individuato dalla prima seconda e quarta riga e dalla seconda, quarta e quinta colonna
cioè |A|(1,2,4;2,4,5)=det della matrice a questo punto la matrice è:
2 0 -1
4 -2 3
-5 1 4
il determinante è uguale a -16.
ma siamo sicuri? eppure io non mi trovo..
poi cosa significa vogliamo determinare il minore di ordine 3? perchè la prima la seconda colonna e la terza riga vengono elminate?
Grazie mille
Rango di una Matrice
Credo che per "minore" intenda quello che io ho sempre chiamato "sottomatrice", ovverosia una matrice (ovviamente più piccola) che si trova all'interno di un'altra matrice. Le sottomatrici si ricercano quando bisogna trovare il rango di una matrice (quadrata). Per rango si intende l'ordine (ordine=lato) della più grande sottomatrice (o della matrice stessa) con determinante diverso da 0. Ad esempio una matrice 6x6 ha il rango <= 6. per calcolarre il rango calcolo il determinante. se questo è diverso da 0, il rango è 6. se il determinante è 0, passo alle sottomatrici 5x5 (che sono 36) mi calcolo il determinante di ognuna di esse FINCHE' NON NE TROVO UNA con determinante diverso da 0. a quel punto la matrice ha rango 5. Se (cacchio di sfiga) hatto tutte det=0 allora passo alle svariate 4x4 (credo siano 900) e vado avanti finché non trovo un det=0. una matrice ha normalmente rango >1 (=o solo se è formata da tutti 0, ma te ne accorgi subito).
per quanto riguarda la tua matrice, poiché è una 4x5, ha rango <=4. per calcolarlo bisogna clcolare i determinati delle 5 sottomatrici 4x4 (ona per ogni colonna che si può eliminare).
Non so percé chieda la sottomatrice 3x3 che hai scritto (forse perché tutte le 4x4 hanno det=0 ? non mi va di fare i conti) ma il suo determinante è effettivmente
-16 det=(2x-2x4)+(0x3x-5)+(-1x4x1)-(-1x-2x-5)-(0x4x4)-(2x3x1)=-16+0-4+10-0-6=-16
p.s. non ho mai sentito parlare di "minore" quindo forse ho scritto tutte cavolate
per quanto riguarda la tua matrice, poiché è una 4x5, ha rango <=4. per calcolarlo bisogna clcolare i determinati delle 5 sottomatrici 4x4 (ona per ogni colonna che si può eliminare).
Non so percé chieda la sottomatrice 3x3 che hai scritto (forse perché tutte le 4x4 hanno det=0 ? non mi va di fare i conti) ma il suo determinante è effettivmente
-16 det=(2x-2x4)+(0x3x-5)+(-1x4x1)-(-1x-2x-5)-(0x4x4)-(2x3x1)=-16+0-4+10-0-6=-16
p.s. non ho mai sentito parlare di "minore" quindo forse ho scritto tutte cavolate
ok grazie.. ho capito come hai calcolato la matrice.
solo che ancora non capisco una cosa..
quando dice il minore di ordine 3 praticamente ricava dalla matrice una matrice del tipo 3x3? il minore di ordine 2 quindi una matrice 2x2?
poi dice: individuato dalla prima seconda e quarta riga e dalla seconda, quarta e quinta colonna (questa cosa è arbitraria? nel senso che l'esercizio ha voluto scegliere arbitrariamente queste riche e colonne?)
e quindi poi sempre arbitrariamente ha cancellato la terza, la prima e terza colonna?
Per il rango quindi detto in parole povere:
Se la matrice ad esempio del tipo 3x3 ha il determinante diverso da zero allora il rango della matrice è 3, nel caso in cui ad esempio la matrice 4x4 il det=0 bisogna prendere una sotto matrice 2x2 e vedere se il det e diverso da zero in caso affermativo il rango della matrice 4x4 è 2 giusto?
Sul libro per quanto riguarda il minore di ordine di .. dice:
Fissate h righe ed h colonne di A ( con 0 < h <= m,n), cancelliamo nella matrice A le m-h righe distinte dalle righe fissate e le n-h colonne distinte dalle colonne fissate; otteniamo così una matrice quadrata di ordine h il cui determinante è minore di ordine h di A individuato dalle righe e dalle colonne fissate.
Grazie mille
solo che ancora non capisco una cosa..
quando dice il minore di ordine 3 praticamente ricava dalla matrice una matrice del tipo 3x3? il minore di ordine 2 quindi una matrice 2x2?
poi dice: individuato dalla prima seconda e quarta riga e dalla seconda, quarta e quinta colonna (questa cosa è arbitraria? nel senso che l'esercizio ha voluto scegliere arbitrariamente queste riche e colonne?)
e quindi poi sempre arbitrariamente ha cancellato la terza, la prima e terza colonna?
Per il rango quindi detto in parole povere:
Se la matrice ad esempio del tipo 3x3 ha il determinante diverso da zero allora il rango della matrice è 3, nel caso in cui ad esempio la matrice 4x4 il det=0 bisogna prendere una sotto matrice 2x2 e vedere se il det e diverso da zero in caso affermativo il rango della matrice 4x4 è 2 giusto?
Sul libro per quanto riguarda il minore di ordine di .. dice:
Fissate h righe ed h colonne di A ( con 0 < h <= m,n), cancelliamo nella matrice A le m-h righe distinte dalle righe fissate e le n-h colonne distinte dalle colonne fissate; otteniamo così una matrice quadrata di ordine h il cui determinante è minore di ordine h di A individuato dalle righe e dalle colonne fissate.
Grazie mille
Supponi di avere una matrice $ A=(a_{ij}) $ con $ 1\leq i \leq n $
e $ 1\leq j\leq m $.
Si chiama minore di ordine k individuato dalle colonne $ (i_1,\ldots, i_k) $ e dalle righe $ (j_1,\ldots, j_k) $ il determinante della sottomatrice quadrata $ A(i_1,\ldots, i_k;j_1,\ldots,j_k)=(a'_{st}) $ con $ a_{st}=a_{i_si_t} $ e $ 1\leq s,t \leq h $.
Insomma, la sottomatrice è una matrice ottenuta dalla tua scegliendo di eliminare alcune righe e colonne; un minore di ordine k è il determinante di una sottomatrice quadrata kxk.
Nel tuo caso, la scelta di quali colonne eliminare è ovviamente arbitraria.
Se pensi ad esempio a come si determina il rango di una matrice (massimo k tale che esiste un minore di ordine k non nullo), ti accorgerai che puoi definire un minore togliendo righe e colonne che vuoi, basta che rimangano k righe e k colonne.
e $ 1\leq j\leq m $.
Si chiama minore di ordine k individuato dalle colonne $ (i_1,\ldots, i_k) $ e dalle righe $ (j_1,\ldots, j_k) $ il determinante della sottomatrice quadrata $ A(i_1,\ldots, i_k;j_1,\ldots,j_k)=(a'_{st}) $ con $ a_{st}=a_{i_si_t} $ e $ 1\leq s,t \leq h $.
Insomma, la sottomatrice è una matrice ottenuta dalla tua scegliendo di eliminare alcune righe e colonne; un minore di ordine k è il determinante di una sottomatrice quadrata kxk.
Nel tuo caso, la scelta di quali colonne eliminare è ovviamente arbitraria.
Se pensi ad esempio a come si determina il rango di una matrice (massimo k tale che esiste un minore di ordine k non nullo), ti accorgerai che puoi definire un minore togliendo righe e colonne che vuoi, basta che rimangano k righe e k colonne.