Analisi: a proposito della parte frazionaria di un numero...

[HiTLeuLeR]

Siccome di là si parlava della funzione parte frazionaria, beh... Ho un problema fresco di soluzione da girarvi!!!

Problema #1: sia $ f(\cdot): \mathbb{R}\mapsto \mathbb{R} $ definita assumendo $ f(0) := 0 $ ed $ f(x) := (x - \lfloor x \rfloor)^{x^2} $, se $ x \neq 0 $. Stabilire se $ f(\cdot) $ è integrabile o meno in senso generalizzato (secondo Riemann) sull'intervallo $ [1, +\infty[ $.

P.S.: il problema mi è stato proposto da wodooo, e credo giusto che il presunto autore venga qui menzionato!!!

EDIT: ghghgh... Così va meglio, moebius?

[moebius]

Se non ho capito male, non è una funzione continua a tratti?

[HiTLeuLeR]

Ehmmm... Sì, la colpa è mia: ho dimenticato "un pezzo" della funzione... Correggo subito!

[moebius]

La butto li e poi torno a studiare qualcosa (anche se sarebbe più giusto scrivere "inizio a studiare qualcosa" ).
In ogni sottointervallo limitato, la funzione è integrabile in quanto continua a tratti.
Nel caso:
$ \lim_{a \rightarrow \infty} \int_1^a f\left(x\right)dx $
osserviamo che posto $ f_n=f_|_\left[n,n+1\right] $ si ha che definitivamente:
$ \int_n^{n+1} f_n\left(x\right)dx = \int_0^1 x^{\left(n+x\right)^2} dx \leq \int_0^1 x^{n^2} \leq \frac{1}{n^2} $ (dove la penultima maggiorazione deriva dal fatto che $ 0\leq x \leq 1 $)
Quindi per la proprietà additiva dell'integrale e il fatto che la serie dei reciproci dei quadrati è convergente, la funzione integrale $ \int_1^a f\left(x\right)dx $ è monotona non decrescente e definitivamente limitata. Quindi il limite sopra esposto esiste finito.
Ma io sono un pessimo analista...

[HiTLeuLeR]

[...] posto $ f_n=f_|_\left[n,n+1\right] $ si ha che definitivamente: $ \displaystyle \int_n^{n+1} f_n\left(x\right)dx = \int_0^1 \left(x\right)^{x^2} dx $ [...]

No, niente affatto, l'uguaglianza certo qui non vale! Inoltre...

[...] definitivamente: [...] $ \displaystyle\int_0^1 \left(x\right)^{n^2} \leq \frac{1}{n^2} [...] $

Posta comunque l'obiezione che già ti ho mosso, mi spiegheresti in che modo mai hai pensato di provare questa maggiorazione? Scusa, ma direi che proprio lì sta l'aspetto più interessante del problema. Se tu lo glissi come fai, mi dici - di grazia - cosa resta?!?

[moebius]

Ehm...
rileggendo il tutto in effetti.... è scritto una *****....
aspè che do una ripulita

[moebius]

Così va meglio caro?

[HiTLeuLeR]

Sì, va decisamente meglio, ma ancora devi dimostrarmi che, definitivamente per $ n\in\mathbb{N}_0 $: $ \displaystyle\int_0^1 x^{n^2} \leq \frac{1}{n^2} $. Cos'è? Pensi forse di poter fare il furbastro, uhmmm?!? BUAHAHAHAH...

[moebius]

Sinceramente mi sembrava così banale che manco l'ho scritto....
$ \displaystyle\int_0^1 x^{n^2} = \frac{1}{n^2+1} \leq \frac{1}{n^2} $
Basta o devo essere crocefisso in sala mensa?

[HiTLeuLeR]

Sì che basta, soltanto mi era sfuggito il fatto che ad integranda non ci fosse più la parte frazionaria, asd... Diciamo che andavo seguendo la mia soluzione, che è - come dire?!? - leggermente più complicatuccia, gh... Del resto, diversamente dalla tua, ben si presta alla seguente generalizzazione!!!

Problema #2: stabilire per quali $ t\in\mathbb{R} $ è integrabile in senso improprio (secondo Riemann) la funzione $ f_t(\cdot): [0, +\infty[ \mapsto\mathbb{R} $ definita assumendo $ f_t(0) := 0 $ ed $ f_t(x) = (x - \lfloor x \rfloor)^{x^t} $, se $ x > 0 $.

EDIT: il programma di rendering è tornato per caso a fare le bizze?

[moebius]

Dai una sistematina al post che hai fatto eplodere il forum

[moebius]

Scusate, post doppio, ma il forum è, come dire... inusabile?

[moebius]

Sei sicuro che la mia non si generalizzi? Non scrivo niente perchè pare che l'interprete latex non funzioni ma secondo me considerando il maggiore degli estremi di integrazione invece del minore nel caso t \leq 1 si conclude ugualmente...

[HiTLeuLeR]

Hai ragione su ogni fronte, moebius! Ok, mi ritiro nell'angolino, va' che è meglio...

[moebius]

Questa frase la dirò pure io al prof oggi all'esame...