probabilità con insiemi continui

[hexen]

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ciao... oggi ho provato a fare un problema di fisica ma la domanda è matematica... dovevo calcolare l'la probabilità di trovare l'angolo di tiro di un corpo (moto parabolico) per farlo cascare in una buca di larghezza data distante una determinata grandezza. Sia $ \Delta \vartheta $ il range.

L'angolo era variabile da 0 a $ \frac{\pi} 2 $. La probabilità io l'ho calcolata con una variabile casuale continua a densità uniforme ma il valore non è quello che fornisce la soluzione del problema che è pari a $ $\frac{\Delta \vartheta}{\frac{\pi} 2}$ $. Non si tratta di insiemi discreti quindi perché è corretto usare la definizione classica di probabilità?

[enomis_costa88]

Scusami potresti spiegarmi perchè la definizione classica non è applicabile agli insiemi continui?? mi sembrerebbe(probabilmente mi sbaglio) logico che valga ancora..provo a fare un esempio: se ho una regione del piano e la divido in 4sezioni uguali la probabilità che lanciando una pallina nella regione cada in una sezione data è 1/4..e non quelle sezioni non mi sembrano per niente discrete.

[hexen]

si ma la definizione classica se non sbaglio parla di "numero dei casi"... cmq se potesse farsi perché esistono le cariabili aleatorie continue con densità uniforme?

[moebius]

La definizione classica (che si può tranquillamente vedere come caso particolare della versione analitica), richiede solamente che vi siano un numero di partizionare i casi in un numero finito di eventi possibili (non necessariamente semplici) equiprobabili. Il fatto che ogni evento rappresenti una quantità infinita (di punti, di casi etc...) non c'entra niente....
Ovviamente il caso classico è riconducibile a variabili aleatorie discrete (o addirittura semplici), quindi applicando ragionevolmente le variabili aleatorie per risolvere il problema, la soluzione deve essere la stessa.

[enomis_costa88]

Ho trovato questa definizione che in un qualche modo può adattarsi all’argomento in discussione..
Se A è un sottinsieme nell’intervallo[a,b] di lunghezza l, la probabilità che il numero x (scelto casualmente in[a,b]) appartenga ad A è uguale al rapporto tra le misure di A e dell’intervallo, cioè $ \frac{l}{b-a} $

ora ho qualche domandina sull'esercizio:la mia altezza è la stessa della buca? $ \Delta \vartheta $ è il range di che cosa della velocità iniziale o degli angoli favorevoli?? l'angolo è scelto casualmente e devo calcolare la possibilità che la pallina cada nella buca oppure la velocità è scelta casualmente all'interno di $ \Delta \vartheta $ e devo calcolare la possibilità che per quella velocità $ \exists $ un' angolo che vada bene??scusatemi per i dubbi.

tentativo(sbagliato sicuramente ma non avendo ben capito il problema non poteva essere diversamente) di sol.
Inoltre non avendo capito di che cosa $ \Delta \vartheta $è il range ho provato a risolverlo così..
Chiamo $ \Delta x $la distanza dalla buca. b è la lunghezza della buca. Se suppongo che l’altezza mia sia uguale a quella della buca:
la gittata del lancio: $ R= \frac{\vartheta_0^2 sin \theta}{g} $ è:
$ \displaystyle \Delta x +b \ge \frac{\vartheta_0^2 sin \theta}{g} \ge \Delta x $
inoltre la lunghezza dell’intervallo dei seni degli angoli accettabili è: $ \displaystyle \frac{bg}{\vartheta_0^2} $
sappiamo che l’intervallo totale è sin $ \displaystyle \frac{\pi}{2}=1 $
per cui la probabilità che si azzecchi il seno dell’angolo è: $ \displaystyle \frac{\frac{bg}{\vartheta_0^2}}{1} $
ora nell’intervallo $ [0, \frac {\pi}{2}] $ posso costruire una corrispondenza biunivoca tra sin $ \theta $ e $ \theta $ che abbia come dominio $ [0, \frac {\pi}{2}] $ e come codominio [0,1]..quindi la probabilità dovrebbe essere la stessa (I hope)
anche se molto probabilmente ho cannato paurosamente con questa sol..spero che la definizione di sopra possa esserti utile.

Ps se poteste rispondere ai miei dubbi..grazie.
Pps @hexen ma cosa sono le variabili aleatorie continue con densità uniforme? cioè che differenza c'è esattamente con le variabili casuali discrete uniformi? ovvero:
A uniform discrete random variable X defined on $ \omega $ is a function that achieves the
distinct values$ x_k $ with equal probability:
$ P(X = x_k) = \frac{1}{card (\omega)} $
Since $ \sum_{k=1}^n P(X=x_k)=1 $

[hexen]

i tuoi dubbi sono giustissimi dato che, concentrandomi sull'aspetto matematico, non ho detto le condizioni fisiche dell'esperimento. La velocità è fissa e l'angolo di tiro casuale da 0 a 90°. Prendendo il piano cartesiano il lancio avviene nell'origine e la buca è un intervallo dell'asse x.

Io avevo calcolato l'intervallo $ $\Delta \theta$ $ degli angoli di tiro per cui la palla casca, ovviamente a parità di velocità.

Non ricordo come ho fatto, ma se $ I $ è l'intervallo della buca e $ y = f(x,\theta) $ l'equazione della parabola si può calcolare per quali teta lo zero della funzione appartiene a $ I $.

Le variabili aleatorie o casuali le farai in quinto se sei sperimentale, altrimenti non lo so, cmq in sintesi:

Una variabile casuale discreta VCD è una variabile $ X $ che può assumere valori $ x_1,x_2...x_n $ al verificarsi degli eventi $ E_1,E_2...E_n $ che hanno probabilità $ p_1,p2_...p_n $. Tutti gli eventi assieme formano l'insieme universo. Di conseguenza la somma delle p dà 1. Notare che i possibili valori come le rispettive probabilità sono numerabili.

Una variabile casuale continua VCC è una variabile che può assumere valori di un intervallo continuo, ad esempio i valori reali fra 0 e 1. Non sono numerabili quindi non sono discrete.

Per entrambi i tipi di variabili si definiscono alcune funzioni che possono essere discrete e continue rispettivamente. Nel caso delle continue è necessario ricorrere al calcolo differenziale e integrale.

Nel caso del problema $ \Delta \theta $ è un insieme continuo e a densità uniforme è come dire, intuitivamente, che ogni valore ha la stessa probabilità di essere preso ma essendo insiemi continui a questo punto entra il concetto di derivata...
spero di essere stato abbastanza chiaro, se hai dubbi sicuramente qualcuno del forum si spiegherà meglio

[enomis_costa88]

Ok intuitivamente ho capito (anche perché avevo già avuto un approccio con gli insiemi continui e discreti)..
allora non avevo neppure frainteso troppo il problema.

Ritornando alla mia soluzione se calcolo l’intervallo in cui la gittata è “compresa nella buca” come ho fatto, scopro qual è l’intervallo favorevole di $ sin \theta $ in funzione ovviamente della larghezza della buca e della velocità iniziale..
e applicando la definizione che ho scritto all’inizio del mio post precedente presa dal libro “Olimpiadi della matematica” scopro qual è la probabilità che scelto a caso un $ sin \theta $ la palla(che suppongo puntiforme..) arrivi nella buca (o mi sbaglio?).

Quella definizione era riferita ad un intervallo continuo (e se ho capito bene anche a densità uniforme) come può essere un’intervallo di valori reali ora mi pare che anche nell’esercizio i valori dell’angolo (o i seni dell’angolo come sto vedendo in questo passaggio..)siano un’intervallo di reali o sbaglio?

Ora nell’ultimo passaggio (e quello di cui sono meno sicuro) del mio post di prima ho pensato che visto che in quell’intervallo ad ogni sin\theta corrisponde un theta differente(e viceversa) allora la possibilità che scelto un theta la palla arrivi dentro è la stessa che non scelto un $ sin \theta $..che avevo precedentemente calcolato senza usare derivate ma bensì fidandomi di una definizione che mi pare piuttosto intuitiva..
inoltre sempre secondo quella definizione chiamato $ \Delta \theta $ l’intervallo degli angoli per cui la palla cade allora la soluzione sarà (come su..) $ \frac{\Delta \theta}{\frac{\pi}{2}} $ ..
se c’è qualcosa di sbagliato o quella stessa definizione è imprecisa please ditemelo..

Tornando alla risposta che gentilmente mi hai dato: l’unica differenza con tra le VCD e le VCC è la numerabilità ovvero se non erro l’equipotenza con N il che mi pare intuitivo (certo se stiamo parlando di un’intervallo ovvero la buca che come hai detto può essere pensato sull’asse x..)anche se ciò introduce elementi di calcolo che non conosco..
ora vorrei sapere se in definitiva la soluzione trovata con l’analisi è diversa dalla mia(e se si ovviamente in cosa ho sbagliato)?

Grazie per l’attenzione e buona serata. Simone.

[hexen]

beh la differenza chiave è per quanto ne so solo il fatto della non numerabilità, che non è cosa da poco dato che da questo vengono le notevoli differenze tra i due tipi di variabili...

per quanto riguarda il problema adesso mi è biologicamente impossibile farlo (casco di sonno ) ma domani mattina provo sia con la vcc che con il rapporto fra gli intervalli

notte

[enomis_costa88]

Ok ieri sera tardi, facendo qualche semplice sostituzione, m’ero accorto del fatto che il mio ultimo passaggio non funzionasse (sul quale avevo già forti dubbi).
Eppure visto che il nostro Hexen non era l'unica persona a cascare dal sonno ho aspettato stamane a postare.
La versione definitiva(??) della probabilità da me calcolata è:
$ \displaystyle \frac{sin^{-1}(\frac{ag}{v_0^2}+\frac{bg}{v_0^2})- sin^{-1}(\frac{ag}{v_0^2})}{\pi} $
e ripeto per l’enne-esima volta tutto per sicurezza..
la gittata R deve essere compresa tra:
$ \displaystyle a+b \ge R \ge a $
con $ a= \Delta x $ e b= larghezza buca. Così la palla arriva nella buca.
Ora troviamo i valori dell’angolo (ricavati dalla formula della gittata che ho scritto qualche post sopra) per cui si hanno gli estremi della buca (e quindi l’intervallo favorevole) ovvero $ \displaystyle sin 2 \theta = \frac{ag}{v_0^2} $
E: $ \displaystyle sin 2 \theta = \frac {ag}{v_0^2}+ \frac{bg}{v_0^2} $
Da cui si ricavano i valori di $ 2 \theta $ cioè: $ \displaystyle 2\theta_1 = sin^{-1}(\frac{ag}{v_0^2}) $
E: $ \displaystyle 2\theta_2 = sin^{-1}(\frac{ag}{v_0^2}+\frac{bg}{v_0^2}) $ e si arriva alla soluzione esposta all’inizio..
ok è molto meno elegante del ragionamento che avevo fatto con $ sin \theta $ ma visto che poi ho scoperto che non funzionava..piuttosto non ho ancora capito bene perchè non funzionasse.
Buona fortuna ad Hexen con il suo lavoro.
E Buona Giornata a tutti.

Edit corretto(spero) il $ sin2\theta $..

[moebius]

Nella formula della gittata c'è $ 2\theta $ e non $ \theta $. Essendo $ sin\left(2\theta\right) $ un funzione non bigettiva in $ \left[0, \frac{\pi}{2}\right] $...
Ma apparte questo, il calcolo lo devi fare sugli angoli e non sui seni: in generale $ \frac{a}{b}\neq \frac{sin\left(a\right)}{sin\left(b\right)} $. Una funzione, pur bigettiva, non conserva il rapporto...
Con lo stesso ragionamento potrei far diventare la probabilità quello che voglio con delle semplici funzioni lineari, aggiustando i coefficienti

[hexen]

usando come lunghezza della buca 0,2 m e come distanza dal punto di lancio al centro della buca 5m ho

$ 0,49 < \sin 2\theta < 0.51 $

$ \theta \in \left (0:\frac{\pi} 4 \right ) $

quindi i 2 intervalli simmetrici rispetto a pi/4 sono $ $\Delta \theta_1 = \Delta \theta_2 = \arcsin 0,51 - \arcsin 0,49 \approx 0,02309^{rad}$ $

secondo il modello VCC la probabilità è:

$ $ p = 2 \int_{\Delta \theta} \frac 2 {\pi} dx = \cdots \approx 0,014 $ $. Il libro dà 0,0153 ma forse perché io dovendo fare v^2/g ho preso g = 10 m/s^2 e non 9.81 per semplificare dato che v=10.

usando il rapporto viene lo stesso cioè se gli estremi degli intervalli sono
$ $x_1 = \frac{\arcsin 0,49} 2$ $
$ $x_2 = \frac{\arcsin 0,51} 2$ $
$ $x_3 = \frac{\pi-\arcsin 0,51} 2$ $
$ $x_4 = \frac{\pi-\arcsin 0,49} 2$ $

e la probabilità è $ $p = \frac{x_2-x_1+x_4-x_3}{\frac{\pi} 2} \approx 0,014$ $

edit: anche usando 9.81 come accelerazione di gravità non viene 0,053 come dice il libro

[moebius]

In effetti pure a me viene lo stesso numero....

[hexen]

cioe lo stesso che viene a me?

cmq ho provato a rifarlo con lo stesso procedimento del libro e mi viene sempre 0.014. Secondo me, come si diceva quando facevo le elementari, "ha sbagliato il libro" a sostituire i dati

[enomis_costa88]

@moebius penso d'avere capito l'errore..in pratica anche se esistesse quella relazione biunivoca (che non esiste perchè avevo ricordato male la formula della gittata) il rapporto viene cambiato..e quindi non posso usare quel ragionamento per calcolare le probabilità.
che bel casino che ho combinato per un problemino di probabilità..

[hexen]

ecco la dimostrazione che la formula

probabilità = (intervallo favorevole) / (intervallo totale)

si può usare quando tutti i valori sono equiprobabili. Nel nostro caso sia X la VCC degli angoli di tiro che può assumere valori compresi in $ \left (0;\frac{\pi} 2 \right ) $ .
Ogni valore ha la stessa probabilità che intuitivamente è $ \frac 1 {\frac{\pi} 2 -0} $. Usando la VCC il valore di densità puntuale è senza dubbio costante, una costante $ k $ tale che
$ $ \int_0^{\pi / 2} k dx = 1$ $ quindi $ k = \frac 2 {\pi} $.

Per calcolare la probabilità che la VCC assuma valori nel range $ \Delta x = x_2-x_1 $ si ha

$ $ p = \frac 2 {\pi} \int_{x_1}^{x_2} dx = \frac{x_2-x_1}{\pi/2} $ $ il cui secondo membro è la forma del famoso "rapporto"...

conclusione: se ogni valore è equiprobabile si può estendere la definizione classica di probabilità

spero che la densità di cazzate in questa dimostrazione sia abbastanza bassa