Problema: essendo $ q $ un primo di $ \mathbb{N} $ della forma $ 4k + 3 $, con $ k\in\mathbb{N} $, determinare tutte e sole le soluzioni in numeri interi dell'equazione $ x^2 + y^2 = q \cdot (u^2 + v^2) $.
EDIT: per la cronaca, ho corretto un particolare della traccia, tsk...
Diofanto, son pazzo di te: x^2 + y^2 = q * (u^2 + v^2).
Ammettiamo per ora che sia il membro di destra che quello di sinistra siano dispari.Allora uno tra $ x $ ed $ y $ è pari e l'altro è dispari.Lo stesso vale per $ u $ e $ v $.
Lavorando modulo 4 troviamo
$ 1\equiv 3\bmod 4 $ assurdo.
Dunque entrambi i membri sono pari.Abbiamo allora quattro possibilità
A)$ x,y $ pari; $ u,v $ pari
B)$ x,y $ pari; $ u,v $ dispari
C)$ x,y $ dispari; $ u,v $ pari
D)$ x,y $ dispari; $ u,v $ dispari
Lavorando modulo 4 per ognuno dei casi troviamo
A)$ 0\equiv 0\bmod 4 $
B)$ 0\equiv 2\bmod 4 $ assurdo
C)$ 2\equiv 0\bmod 4 $ assurdo
D)$ 2\equiv 2\bmod 4 $
Lavorando modulo 8 per il caso D otteniamo
$ 2\equiv 6\bmod 8 $ assurdo.
Dunque $ x,y,u,v $ sono pari.Poniamo allora
$ x=2a $, $ y=2b $, $ u=2s $, $ v=2t $, con $ a,b,s,t\in Z $.Sostituendo troviamo
$ a^2+b^2=q(s^2+t^2) $.
Su questa equazione possiamo eseguire lo stesso ragionamento fatto su quella iniziale:per discesa infinita, allora, l'unica soluzione è la quaterna $ 0,0,0,0 $
Non capisco a cosa serva il fatto che $ q $ sia primo, ma probabilmente sto sbagliando qualcosa
Lavorando modulo 4 troviamo
$ 1\equiv 3\bmod 4 $ assurdo.
Dunque entrambi i membri sono pari.Abbiamo allora quattro possibilità
A)$ x,y $ pari; $ u,v $ pari
B)$ x,y $ pari; $ u,v $ dispari
C)$ x,y $ dispari; $ u,v $ pari
D)$ x,y $ dispari; $ u,v $ dispari
Lavorando modulo 4 per ognuno dei casi troviamo
A)$ 0\equiv 0\bmod 4 $
B)$ 0\equiv 2\bmod 4 $ assurdo
C)$ 2\equiv 0\bmod 4 $ assurdo
D)$ 2\equiv 2\bmod 4 $
Lavorando modulo 8 per il caso D otteniamo
$ 2\equiv 6\bmod 8 $ assurdo.
Dunque $ x,y,u,v $ sono pari.Poniamo allora
$ x=2a $, $ y=2b $, $ u=2s $, $ v=2t $, con $ a,b,s,t\in Z $.Sostituendo troviamo
$ a^2+b^2=q(s^2+t^2) $.
Su questa equazione possiamo eseguire lo stesso ragionamento fatto su quella iniziale:per discesa infinita, allora, l'unica soluzione è la quaterna $ 0,0,0,0 $
Non capisco a cosa serva il fatto che $ q $ sia primo, ma probabilmente sto sbagliando qualcosa
Tutto perfetto! 
A nulla, in effetti, ma è solo che non ci avevo fatto caso. ^^' Del resto, la mia soluzione si basa sulla considerazione che, là dove $ q $ sia un primo del tipo $ 4k+3 $, con $ k\in\mathbb{N} $, allora $ q \nmid (x^2 + y^2) $, quando $ \gcd(x,y) = 1 $, per poi concludersi - come la tua - in una graziosa discesa infinita. In ogni caso, adesso che mi ci fai pensare, lo stesso ragionamento si può benissimo estendere al caso in cui $ q $ sia un qualunque intero positivo $ \equiv 3 \bmod 4 $. In queste ipotesi, infatti, esiste certo un primo naturale $ p \equiv 3 \bmod 4 $ tale che $ p \mid q $, per cui...Igor ha scritto: Non capisco a cosa serva il fatto che sia primo, ma probabilmente sto sbagliando qualcosa.