Un'altra disuguaglianza sulla sigma dei divisori
Un'altra disuguaglianza sulla sigma dei divisori
Problema: provare che, per ogni intero $ n \geq 1 $: $ \displaystyle\sigma(1) + \frac{\sigma(2)}{2} + \ldots + \frac{\sigma(n)}{n} < 2n $, ove $ \sigma(\cdot) $ denota qui la funzione dei divisori d'ordine $ 1 $ (click).
Consideriamo il membro di sinistra e calcoliamo quante volte un certo addendo compare nella somma.
L' uno compare in ogni termine, quindi avremo la somma
$ \displaystyle 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\ldots +\frac{1}{n}\displaystyle $
Il due compare per ogni termine $ \frac{\sigma(i)}{i} $ in cui $ i $ è multiplo di due, avremo dunque la somma
$ \displaystyle 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\ldots +\frac{1}{\left[ \frac{n}{2}\right]}\displaystyle $
In generale, ogni $ 1\leq k\leq n $ genera una somma pari a
$ \displaystyle 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\ldots +\frac{1}{\left[ \frac{n}{k}\right]}\displaystyle $
Calcoliamo dunque quante volte un termine della forma $ \frac{1}{i} $ compare nel membro di sinistra
Il termine $ 1 $ compare $ n $ volte
Il termine $ \frac{1}{2} $ compare $ \left[ \frac{n}{2}\right] $ volte
In generale, il termine $ \frac{1}{i} $ compare $ \left[ \frac{n}{i}\right] $ volte
Dunque, chiamato con $ P $ il membro di sinistra della disuguaglianza di partenza, avremo che:
$ \displaystyle P=\frac{1}{1}\left[ \frac{n}{1}\right]+\frac{1}{2}\left[ \frac{n}{2}\right]+\ldots +\frac{1}{n}\left[ \frac{n}{n}\right]\displaystyle $
Avremo allora che
$ \displaystyle P\leq\frac{n}{1^2}+\frac{n}{2^2}+\ldots +\frac{n}{n^2}\displaystyle $
La disuguaglianza di partenza diventa quindi
$ \displaystyle\frac{n}{1^2}+\frac{n}{2^2}+\ldots +\frac{n}{n^2}\leq 2n\displaystyle $
$ \displaystyle\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}+\ldots +\frac{1}{n^2}\leq 2\displaystyle $
Al membro di sinistra compare una serie che converge a $ \frac{\pi^2}{6} $.Poichè questo valore è minore di due, la disuguaglianza è verificata.
Spero che la dimostrazione sia chiara.
Ed anche che sia esatta, è ovvio
L' uno compare in ogni termine, quindi avremo la somma
$ \displaystyle 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\ldots +\frac{1}{n}\displaystyle $
Il due compare per ogni termine $ \frac{\sigma(i)}{i} $ in cui $ i $ è multiplo di due, avremo dunque la somma
$ \displaystyle 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\ldots +\frac{1}{\left[ \frac{n}{2}\right]}\displaystyle $
In generale, ogni $ 1\leq k\leq n $ genera una somma pari a
$ \displaystyle 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\ldots +\frac{1}{\left[ \frac{n}{k}\right]}\displaystyle $
Calcoliamo dunque quante volte un termine della forma $ \frac{1}{i} $ compare nel membro di sinistra
Il termine $ 1 $ compare $ n $ volte
Il termine $ \frac{1}{2} $ compare $ \left[ \frac{n}{2}\right] $ volte
In generale, il termine $ \frac{1}{i} $ compare $ \left[ \frac{n}{i}\right] $ volte
Dunque, chiamato con $ P $ il membro di sinistra della disuguaglianza di partenza, avremo che:
$ \displaystyle P=\frac{1}{1}\left[ \frac{n}{1}\right]+\frac{1}{2}\left[ \frac{n}{2}\right]+\ldots +\frac{1}{n}\left[ \frac{n}{n}\right]\displaystyle $
Avremo allora che
$ \displaystyle P\leq\frac{n}{1^2}+\frac{n}{2^2}+\ldots +\frac{n}{n^2}\displaystyle $
La disuguaglianza di partenza diventa quindi
$ \displaystyle\frac{n}{1^2}+\frac{n}{2^2}+\ldots +\frac{n}{n^2}\leq 2n\displaystyle $
$ \displaystyle\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}+\ldots +\frac{1}{n^2}\leq 2\displaystyle $
Al membro di sinistra compare una serie che converge a $ \frac{\pi^2}{6} $.Poichè questo valore è minore di due, la disuguaglianza è verificata.
Spero che la dimostrazione sia chiara.
Ed anche che sia esatta, è ovvio
