Dimostrare per induzione che per n>=2
2^n <= n! + 2
semplice induzione
Devo occupare il tempo fino alle 22:30
Claim: per ogni intero $ n \geq 0 $: $ 2^n \leq n! + 2 $.
Dim.: $ 1 = 2^0 < 2 = 2^1 < 1! + 2 = 0! + 2 = 3 $, e così pure $ 4 = 2^2 \leq 2! + 2 = 4 $. Assumendo poi $ 2^n \leq n! + 1 $, per un generico intero $ n \geq 2 $: $ 2^{n+1} = 2 \cdot 2^n \leq 2(n! + 2) = (2n! + 2) + 2 \leq (2n! + n!) + 2 $ $ = 3n! + 2 \leq (n+1) \cdot n! + 2 $ $ = (n+1)! + 2 $. Di qui (per induzione) la tesi, q.e.d.
Dim.: $ 1 = 2^0 < 2 = 2^1 < 1! + 2 = 0! + 2 = 3 $, e così pure $ 4 = 2^2 \leq 2! + 2 = 4 $. Assumendo poi $ 2^n \leq n! + 1 $, per un generico intero $ n \geq 2 $: $ 2^{n+1} = 2 \cdot 2^n \leq 2(n! + 2) = (2n! + 2) + 2 \leq (2n! + n!) + 2 $ $ = 3n! + 2 \leq (n+1) \cdot n! + 2 $ $ = (n+1)! + 2 $. Di qui (per induzione) la tesi, q.e.d.