Diofantee semplici semplici

[MindFlyer]

Se posto di questioni che già altri hanno affrontato è solo per mostrare approcci alternativi alla soluzione di uno stesso problema. Pertanto nessuno me ne voglia a male...

Nessuno se ne vuole a male se posti soluzioni alternative a problemi già risolti, o se fornisci esempi di soluzioni per problemi irrisolti.
Ma quando, in meno di 16 ore dall'apertura di un thread dal titolo "Diofantee semplici semplici", tu ne hai già risolte 6 su 8, la cosa inizia a darmi fastidio.
Cerca di contenerti, plz.

[HiTLeuLeR]

Risolvere in interi l'equazione 8) $ 3^k-1=x^3 $.

Siano $ x, k \in\mathbb{Z} $ tali che $ 3^k - 1 = x^3 $, ovvero $ (x+1)(x^2 - x +1) = 3^k $. Ovviamente dev'essere $ k \geq 0 $, ché altrimenti il primo membro rappresenta un intero, e il secondo così non pure. Considerando allora che, per ogni $ x \in \mathbb{R} $: $ x^2 - x + 1 > 0 $, e sfruttando l'unicità della fattorizzazione in primi, se ne deduce $ x+1 = 3^u $ ed $ x^2 - x + 1 = 3^v $, con $ u, v \in\mathbb{N} $ ed $ u+v = k $. Se $ u \geq 2 $, questo impone $ x \equiv -1 \bmod 9 $, donde $ 3^v \equiv 3 \bmod 9 $, e perciò $ v = 1 $. Ergo $ x^2 - x + 1 = 3 $, e da qui $ x = -1 $ oppure $ x = 2 $. Ne risulta $ 3^u = 0 $, il che è impossibile; e $ 3^u = 3 $, ovvero $ u = 1 $, il che è comunque inaccettabile per aver supposto $ u \geq 2 $. Se ne deduce necessariamente dover essere $ u = 0 $ vel $ u = 1 $, da cui $ x = k = 0 $ ed $ x = k = 2 $. Le conclusioni si scrivono da sé...

[HiTLeuLeR]

Dimostrare che l'equazione 8') $ 3^k-1=x^n $ non ha soluzioni in numeri interi per $ k > 1 $ e $ k \not = 3 $.

Qualcosa non torna con la traccia del problema. Senza imporre condizioni sulla variabile $ n $, l'equazione ammette infatti *infinite* soluzioni (basti porre $ n = 1 $ ed $ x = 3^k - 1 $, per ogni valore ammissibile della variabile $ k $).

Nessuno se ne vuole a male se posti soluzioni alternative a problemi già risolti, o se fornisci esempi di soluzioni per problemi irrisolti.

Ma sant'Iddio... Ho risolto l'1 sperando di poter essere d'aiuto a peppeporc! Ancora, ho risolto il 4), il 5), il 6) e l'$ [tex] $[/tex] solo *dopo* che Franchifis aveva già postato le proprie soluzioni, più che altro per esibire approcci alternativi e fissare alcuni (essenziali) dettagli che al nostro piccolo amico erano - come dire... - sfuggiti. Infine, ho risolto il 2) e il 7) per ragioni di puro diletto. E allora?!?

@ Hit: Non preoccuparti, nessuno te ne vorrà male per proporre soluzioni alternative (e magari correggere quelle sciagurate del sottoscritto...)

Hai dimenticato Mind... E comunque la correzione dei problemi, per come la vedo io, spetta di fatto - salvo sparute eccezioni! - al proponente, e soltanto a lui.

[enomis_costa88]

Hai perfettamente ragione..nella fretta ho confuso n e k..le condizioni erano su n..chiedo venia!
la 8 ) è: Dimostrare che l'equazione $ 3^k -1=x^n $ non ha soluzioni in numeri interi per n>1 e $ n \not =3 $

[enomis_costa88]

E comunque la correzione dei problemi, per come la vedo io, spetta di fatto - salvo sparute eccezioni! - al proponente, e soltanto a lui.

Visto che ne avete già risolti 7 su 8 inizierò a buttare giù qualcosa come "commenti e eventuali correzioni"..sta sera poi vi farò sapere (a una prima occhiata mi sembra tutto giusto ma chissà).
magari se riesco faccio un confronto con le mie sgangherate soluzioni..solo per dire quanto siano più belle le vostre.

@Hitleuler: grazie per avermi fatto notare l'errore nel testo dell'8 .
Per le soluzioni se vuoi (per riappacificare gli animi) forse è meglio se si occulta tutto..

[enomis_costa88]

1) risolta da Hit: tutto ok e soprattutto spiegata benissimo..anche io l'avevo guardata modulo 3 e lo stesso vale per l'Engel.
2)Hit modulo 4..ok solo non capisco quell' $ a\equiv b \equiv 1 (mod 4) $ ? forse intendeva $ a^2 \equiv 1 \equiv b^2 (mod 4) $ ..comunque la soluzione è quella..si poteva fare anche modulo 8 tra le tante.
3) no solution
4/5)ok a Franchifis e bella la scomposizione di Hitleuler nel 5..è la stessa che posta l'Engel.
io l'avevo risolto (riferito al 5 di cui il 4 è un caso particolare..) in modo mooolto più brutale:

notata la coppia banale(0,0); se sono entrambi positivi: se x o y =2 ottengo la coppia 2,2 se sono entrambi >2 la somma è < del prodotto (si può dimostrare induttivamente) se x o y =1 allora la somma > del prodotto e non si ha l'uguaglianza.
se sono entrambi minori di 0 allora il Membro Di Destra sarà >0 e il MDS<0..
se uno è maggiore e uno minore allora: x<0,y>0 pongo x=-z ottengo y-z=-zy ovvero z-y=zy.si dimostra induttivamente su z che non ha soluzioni(per y,zpositivi e non nulli)..
6)Hit e Franchifis..ok il difficile era discuterla correttamente..io l'ho risolta come Franchifis
7)Hit:giusta la conclsione e anche piuttosto carina..
giusta la Franchifis a cui chiedo scusa per le condizioni errate (spero che sia riuscito lo stesso a interpretare il problema)..
non espongo tutta la mia soluzione perchè molto analoga alla sua..ma solo un dettaglio:
caso n dispari
se poniamo x+1>1 allora è facile verificare che $ x \equiv -1 (mod 3) $ ora sostituisco nell'altra espressione ovvero in $ x^{n-1}-x^{n-2} $ ...-x+1 e attenzione a tutti cosa ottengo..1+1+1+....+1+1 ovvero n per cui ricavo subito che 3|n..e mi ricollego alla precedente.

Buona serata Simone

[peppeporc]

Visto che me ne avete lasciata una provo a proporre una specie di mezza soluzione sperando di non offendere la matematica... risolvo la 3) $ $ 15x^2-7y^2=9$ \, $ ; dato che il risultato è un numero dispari si possono avere le seguenti configurazioni
$ (1) p - d = d $
$ (2) d - p = d $;
considerando la $ (1) $ si ha:
$ $15x^2 = p \Rightarrow x^2 = p $ $ e $ $ 7y^2 = d \Rightarrow y^2 =d $ $
ora: $ $ 15x^2 \equiv 9 \equiv 0\pmod{3}\, con x^2 pari $
è lecito quindi $ $15x^2-9 \equiv 0\pmod{3}\, $
ovvero $ \,$7y^2 \equiv 0\pmod{3}$\, $ se $ $y^2$\, $ è della forma $ \,$(3k+6)^2$\, $;

comunque visto che questa sera mi sento un po' più pignolo (stò scherzando ovviamente) vorrei chiedere una cosa a Peppeporc: se puoi potresti (per migliorare la leggibilità..) esplicitare i calcoli quando dici "con opportuni passaggi" e quando fai la sostituzione ottenendo $ 4k^2+4k+1=0 $. Te ne sarei molto grato anche perchè mi era venuto un dubbio..grazie 1000 in anticipo

grazie per avermi detto di esplicitare perchè mi sono accorto di certi errori . . .
Allora parto da dove intendi avere chiarimenti; tenuta presente l'equazione principale
$ $ 15x^2-7y^2=9$ $
si può ricavare
$ $ 15x^2=7y^2+9$ $
ovvero
$ $x^2=\frac{7y^2+9}{15}$(3) $
arrivati a questo punto sappiamo anche che
$ $y^2=(3+6k)^2$ $ che sosituendo nella $ (3) $ troviamo
$ $x^2=\frac{7(3+6k)^2+9}{15}$ $ da cui
$ $x^2=\frac{12(2+7k^2+7k)}{5}$ $
ora ...fin qui ci siamo e ci siamo anche per la dimostrazione della $ (2) $ perchè si procede in modo analogo ma ci si ferma prima constatando che $ $7y^2 \equiv 1\pmod{3}$ \, $ invece di essere congruo a 0 in quanto $ $15x^2-9 \equiv 0\pmod{3} $
ma come continuo questa? domani ci penso buona notte e perdonate il mistake

[Lafforgue]

3) $ 15x^2-7y^2=9 $

Ragionando con le congruenze $ mod{5} $ si ha $ 7y^2 \equiv 15x^2-7y^2 \equiv 9 \equiv 4 $ da cui segue $ y^2 \equiv 2 $ ma $ (\frac{5-1}{2})(\frac{2-1}{2})=1 $ quindi 2 non è un residuo quadratico di 5 è l' equazione non ammette soluzioni.
Posto anche una soluzione alternativa (la prima venutami in mente) per vedere cosa ne pensate:
[EDIT]
--- cancellate le schifezze fatte notare da HiTLeuLeR, meglio fermarsi alla prima soluzione ---

[HiTLeuLeR]

2) [...] ok solo non capisco quell'$ a\equiv b \equiv 1 (mod 4) $ ? forse intendeva $ a^2 \equiv 1 \equiv b^2 (mod 4) $ [...]

Ooops... Intendevo scrivere $ a \equiv b \equiv 1 \bmod 2 $, che è poi nelle ipotesi. Correggo subito!

[peppeporc]

Interessante Lafforgue..anch'io solitamente partivo con somma per differenza ma per stavolta ho lasciato stare per provare qualcos'altro (magari non era la strada giusta)...a proposito
qualcuno potrebbe dirmi se ci sono errori nella mia soluzione proprosta please?
grazie

[HiTLeuLeR]

3) Posto anche una soluzione alternativa (la prima venutami in mente) per vedere cosa ne pensate:
$ (\sqrt{15}x-\sqrt{7}y)(\sqrt{15}x+\sqrt{7}y)=3^2 $ ciò implica uno dei seguenti tre casi 1)$ \sqrt{15}x-\sqrt{7}y=\sqrt{15}x+\sqrt{7}y=3 $ assurdo; 2)$ \sqrt{15}x-\sqrt{7}y=9 $ nel membro a sinistra compaiono $ \sqrt{15} $ e $ \sqrt{7} $, per x e y interi non è possibile cavarne fuori un numero intero; 3)$ \sqrt{15}x+\sqrt{7}y=9 $ come il 2)

Penso che l'hai fatta un po' troppo semplice! Clicca qui, va'...

[Lafforgue]

Penso che l'hai fatta un po' troppo semplice! Clicca qui, va'...

ehm ... già, ho dimenticato un (bel) po' di casi ...

[enomis_costa88]

@peppeporc: mi sembra che regga la tua dimostrazione(sperando di non essere smentito)..una piccola precisazione:
quando dici:"se y^2 è nella forma (3k+6)^2"..puoi togliere il se perchè i quadrati $ y^2 \equiv 0 (mod 3) $ implicano $ y \equiv 0 (mod 3) $ ovvero y=3k e y=3(k-2)+6 e ora puoi porre k-2=z e avere la forma desiderata..

Nota: stavo per chiederti la seconda soluzione di $ 4k^2+4k+1=0 $..per poi notare che è un quadrato è una delle cose che si potrebbero sempre scrivere per facilitare la lettura.

Anche io avevo lavorato modulo 3 (ma un po' più velocemente) e questa è, mi pare, l'unica soluzione (a parte le prime 2) che ho trovato uguale a quella riportata (a pagina 122) dall'Engel:

noto che $ y \equiv 0 (mod 3) y=3m $
$ 15x^2-7*9m^2=9 $ da cui $ x \equiv 0 (mod 3) $ x=3n
$ 15n^2-7m^2=1 $ ovvero modulo 3:
$ 7m^2\equiv -1 (mod 3) $ e $ m^2 \equiv -1 (mod 3 ) $ che è assurdo.

PS complimenti a Peppe (a meno di smentitone)

Per Lafforgue aspetterò un po' a vedere..così hai tutto il tempo di finire i casi mancanti

[peppeporc]

@peppeporc: una piccola precisazione:
quando dici:"se y^2 è nella forma (3k+6)^2"..puoi togliere il se perchè i quadrati $ y^2 \equiv 0 (mod 3) $ implicano $ y \equiv 0 (mod 3) $ ovvero y=3k e y=3(k-2)+6 e ora puoi porre k-2=z e avere la forma desiderata..

a dire il vero io volevo sottointendere il "se" perchè avevo già posto che $ $y^2$ $ doveva essere dispari e quindi nella forma $ $(2k+1)^2% $che, assieme alla condizione $ $y^2\equiv 0\pmod{3} $, diventa $ $y^2=3^2(2k+1)^2=(3+6k)^2$ $
per il quadrato del binomio grazie per il consiglio!

[HiTLeuLeR]

[...] Per Lafforgue aspetterò un po' a vedere..così hai tutto il tempo di finire i casi mancanti [...]

Guardate che non si tratta affatto di coprire "i casi mancanti", forse non ci siamo intesi bene! La questione è anzi concettuale. La nozione di divisibilità tipicamente applicata agli interi di $ \mathbb{Z} $ è sì estendibile a strutture algebriche ben più generali (vedi il link che ho già indicato precedentemente), ma bisogna pure usare cautela e saper *bene* quel che si fa e si dice. L'insieme $ \mathcal{D} = \{\sqrt{15} x + \sqrt{7} y: x, y \in \mathbb{Z}\} $ non è certo un dominio integrale, siccome non è neppure chiuso rispetto al prodotto. Dunque voi sapreste forse spiegarmi che cacchio mai vorrebbe significare dividere l'un per l'altro due elementi di questo bel cosone, uh? Meglio ragionar per via di congruenze, date retta a me...