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EG
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Siano a, b e c numeri razionali tali che
$ a^3+2b^3+4c^3=8abc $.
Si mostri che $ a=b=c=0 $
Siano a, b e c...
La terna $ (a,b,c) = (0,0,0) $ risolve chiaramente l'equazione proposta. Assumiamo dunque per il seguito $ a^2 + b^2 + c^2 > 0 $, e osserviamo di conseguenza che al più una fra le variabili $ a, b, c $ può allora assumere valore eguale a zero. Senonché, supponendo $ a = 0 $ oppure $ c = 0 $, si è ricondotti a risolvere in $ \mathbb{Q} $ l'equazione $ t^3 = -2 $, la quale di fatto non possiede soluzioni razionali. E ad analoghe conclusioni si giunge ammettendo ancora $ b = 0 $. Indi dev'essere pure $ abc \neq 0 $. Esistono allora $ x,y,z\in\mathbb{Z} $ tali che $ v_2(a) = x $, $ v_2(b) = y $ e $ v_2(c) = z $, dove $ v_2(\cdot) $ indica la valutazione $ 2 $-adica del razionale passato per argomento. Da qui $ a^3 + b^3 + c^3 = 8abc $ sse $ v_2(2^{3x} \cdot \alpha^3 + 2^{3y+1} \cdot \beta^3 + 2^{3z+2} \cdot \gamma^3) $ $ = v_2(2^{3+x+y+z} \cdot \alpha \beta \gamma) = 3+x+y+z $, con $ \alpha, \beta, \gamma \in \mathbb{Q} $ e $ v_2(\alpha) = v_2(\beta) = v_2(\gamma) = 0 $. D'altra parte, $ 3x $, $ 3y+1 $ e $ 3z+2 $ sono interi a due a due distinti. Perciò $ v_2(2^{3x} \cdot \alpha^3 + 2^{3y+1} \cdot \beta^3 + 2^{3z+2} \cdot \gamma^3) $ $ = \min(3x,3y+1,3z+2) < 3 \cdot \min(x+1,y+1,z+1) $ $ \leq 3 + x + y + z $. Se dunque $ a^2 + b^2 + c^2 \neq 0 $, l'equazione proposta non ammette soluzioni razionali. Segue la tesi, q.e.d.
Ultima modifica di HiTLeuLeR il 17 ago 2005, 12:22, modificato 2 volte in totale.
Dalla regia mi assicurano che si può anche usare il metodo della discesa infinita di Fermat, ma immagino ci siano un po' di calcoli da fare, volendo esser prodighi di dettagli... In ogni caso, siccome mi par d'intendere che le valutazioni ti lascino un po' perplesso, beh... ci spendo sopra qualche parolina, giusto per farti capire di che si tratta.mark86 ha scritto:valutazione 2-adica? spero che esistano dei metodi un po' più elementari....
Supponi sia $ p $ un numero primo naturale ed $ m $ un intero $ \neq 0 $. Esiste allora $ k\in\mathbb{N} $ tale che $ p^k \;\|\; m $. Ebbene, si pone $ v_p(m) = k $, e si dice che $ k $ è la valutazione $ p $-adica di $ m $. Se poi $ r\in\mathbb{Q}_0 $, esistono $ m, n \in \mathbb{Z}_0 $ tali che $ r = m/n $. Posto $ v_p(r) = v_p(m) - v_p(n) $, si può mostrare (banale!) che $ v_p(r) $ è indipendente dalla rappresentazione (in forma di frazione) di $ r $, ossia dalla scelta di $ m $ ed $ n $, che di fatto possono pertanto assumersi coprimi. Ebbene, $ v_p(r) $ si dice la valutazione $ p $-adica di $ r $. Come vedi, non c'è nulla di trascendentale...
il fatto è, mio caro Hit, che a me interessa conoscere anche soluzioni fattibili all'esame in Normale che farò (chissà con quali speranze) fra una ventina di giorni... quindi mi aspetto metodi elementari che magari possono essere poco eleganti o persino volgari... ma comunque a conoscenza di un liceale... spero che non me ne vogliate.... Grazie lo stesso per tutto
Lemma #1: l'equazione $ x^3 + 2y^3 + 4z^3 = 8xyz $ non possiede soluzioni in interi se $ \gcd(x,y,z) = 1 $.
Dim.: siano $ x,y,z\in\mathbb{Z} $ tali che $ x^3 + 2y^3 + 4z^3 = 8xyz $ e $ \gcd(x,y,z) = 1 $. Allora $ x, y, z $ non sono tutti contemporaneamente nulli, e inoltre $ x \equiv 0 \bmod 2 $. Posto $ x = 2u $, con $ u\in\mathbb{Z} $, ne seguita $ 4u^3 + y^3 + 2z^3 = 8uyz $. Da qui $ y \equiv 0 \bmod 2 $, ossia $ y = 2v $, con $ v \in \mathbb{Z} $, e ancora $ 2u^3 + 4v^3 + z^3 = 8uvz $. Di nuovo $ z \equiv 0 \bmod 2 $, e perciò $ z = 2w $, con $ w\in\mathbb{Z} $. Ne segue $ \gcd(x,y,z) = 2 \cdot \gcd(u,v,w) \geq 2 $, assurdo!
Lemma #2: l'unica soluzione in interi all'equazione $ x^3 + 2y^3 + 4z^3 = 8xyz $ si ottiene per $ x = y = z = 0 $.
Dim.: la terna $ (x,y,z) = (0,0,0) $ risolve chiaramente l'equazione proposta. Sia dunque per il seguito $ x^2 + y^2 + z^2 > 0 $. Posto $ \delta = \gcd(x,y,z) $, ammettiamo $ x = \delta \cdot \hat{x} $, $ y = \delta \cdot \hat{y} $ e $ z = \delta \cdot \hat{z} $, dove $ \hat{x}, \hat{y}, \hat{z} \in \mathbb{Z} $ ed $ \hat{x}^2 + \hat{y}^2 + \hat{z}^2 > 0 $. Allora $ x^3 + 2y^3 + 4z^3 = 8xyz $ sse $ \hat{x}^3 + \hat{y}^3 + \hat{z}^3 = 8 \hat{x} \hat{y} \hat{z} $, con $ \gcd(\hat{x}, \hat{y}, \hat{z}) = 1 $. Di qui l'assurdo, per consistenza con il lemma precedente.
Dim.: siano $ x,y,z\in\mathbb{Z} $ tali che $ x^3 + 2y^3 + 4z^3 = 8xyz $ e $ \gcd(x,y,z) = 1 $. Allora $ x, y, z $ non sono tutti contemporaneamente nulli, e inoltre $ x \equiv 0 \bmod 2 $. Posto $ x = 2u $, con $ u\in\mathbb{Z} $, ne seguita $ 4u^3 + y^3 + 2z^3 = 8uyz $. Da qui $ y \equiv 0 \bmod 2 $, ossia $ y = 2v $, con $ v \in \mathbb{Z} $, e ancora $ 2u^3 + 4v^3 + z^3 = 8uvz $. Di nuovo $ z \equiv 0 \bmod 2 $, e perciò $ z = 2w $, con $ w\in\mathbb{Z} $. Ne segue $ \gcd(x,y,z) = 2 \cdot \gcd(u,v,w) \geq 2 $, assurdo!
Lemma #2: l'unica soluzione in interi all'equazione $ x^3 + 2y^3 + 4z^3 = 8xyz $ si ottiene per $ x = y = z = 0 $.
Dim.: la terna $ (x,y,z) = (0,0,0) $ risolve chiaramente l'equazione proposta. Sia dunque per il seguito $ x^2 + y^2 + z^2 > 0 $. Posto $ \delta = \gcd(x,y,z) $, ammettiamo $ x = \delta \cdot \hat{x} $, $ y = \delta \cdot \hat{y} $ e $ z = \delta \cdot \hat{z} $, dove $ \hat{x}, \hat{y}, \hat{z} \in \mathbb{Z} $ ed $ \hat{x}^2 + \hat{y}^2 + \hat{z}^2 > 0 $. Allora $ x^3 + 2y^3 + 4z^3 = 8xyz $ sse $ \hat{x}^3 + \hat{y}^3 + \hat{z}^3 = 8 \hat{x} \hat{y} \hat{z} $, con $ \gcd(\hat{x}, \hat{y}, \hat{z}) = 1 $. Di qui l'assurdo, per consistenza con il lemma precedente.
Sia $ \mu $ il minimo comune multiplo dei denominatori delle frazioni ridotte rappresentative dei numeri razionali $ a,b, c $. E allora $ a^3 + b^3 + c^3 = 8abc $ sse $ x^3 + y^3 + z^3 = 8xyz $, con $ x = a \cdot \mu $, $ y = b\cdot \mu $ e $ z = c \cdot\mu $. Senonché $ x, y, z\in\mathbb{Z} $, e dunque in base al lemma #2: $ x = y = z = 0 $. Da qui $ a = b = c = 0 $, e quindi la tesi.mark86 ha scritto:Siano a, b e c numeri razionali tali che $ a^3+2b^3+4c^3=8abc $. Si mostri che $ a=b=c=0 $