Esistono infiniti primi della forma 3n+2
Esistono infiniti primi della forma 3n+2
Problema: senza usare il teorema di Dirichlet, provare che esistono infiniti primi naturali della forma $ 3n+2 $.
Corretto il tex
EG
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innanzitutto vediamo che ne esistono, e questo è facile (2,5,11,ecc.).
ora dimostrerò che dato un insieme finito $ p_1,p_2,p_3....p_n $ di numeri del tipo $ 3k+2 $ è sempre possibile aggiungerne un altro $ \Rightarrow $ non sono un numero finito
Prendiamo allora il numero
$ \prod p_i +3 $
che è relativamente primo con tutti i $ p_i $ e del tipo $ 3k+2 $.
possono presentarsi 2 casi:
1)$ \prod p_i +3 $ è un numero primo, ed abbiamo aggiunto un altro numero primo al nostro insieme.
2)$ \prod p_i +3 $ è un numero composto.essendo $ \equiv 2 (\mod3) $ ha almeno un fattore $ \equiv 2 (\mod3) $ ed essendo relativamente primo con tutti i primi presi in precedenza, ne abbiamo trovato un altro.
Ciao ciao
EG
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innanzitutto vediamo che ne esistono, e questo è facile (2,5,11,ecc.).
ora dimostrerò che dato un insieme finito $ p_1,p_2,p_3....p_n $ di numeri del tipo $ 3k+2 $ è sempre possibile aggiungerne un altro $ \Rightarrow $ non sono un numero finito
Prendiamo allora il numero
$ \prod p_i +3 $
che è relativamente primo con tutti i $ p_i $ e del tipo $ 3k+2 $.
possono presentarsi 2 casi:
1)$ \prod p_i +3 $ è un numero primo, ed abbiamo aggiunto un altro numero primo al nostro insieme.
2)$ \prod p_i +3 $ è un numero composto.essendo $ \equiv 2 (\mod3) $ ha almeno un fattore $ \equiv 2 (\mod3) $ ed essendo relativamente primo con tutti i primi presi in precedenza, ne abbiamo trovato un altro.
Ciao ciao
E perché mai quel numeretto lì dovrebbe essere $ \equiv 2 \bmod 3 $ ? Guarda che $ 2^t \equiv 1 \bmod 3 $, se $ t $ è un intero pari.frengo ha scritto: 2) $ \prod p_i +3 $ è un numero composto, essendo $ \equiv 2 (mod3) $ [...]
Ultima modifica di HiTLeuLeR il 13 set 2005, 12:15, modificato 1 volta in totale.
Hit, scusa?
$ 2^t\equiv 1\ \mod\ 3 $ se $ t\in\mathbb{Z}/2\mathbb{Z} $... eh?
Anche detto in italiano, non è che abbia molto senso ... come tutte le potenze modulo m, anche quelle di due avranno un ciclo ... quindi, più plausibilmente,
$ 2^t\equiv 1\mod 3 $ se t è pari e $ 2^t\equiv -1\mod 3 $ se t è dispari.
Direi quindi che l'unico problema in quel che ha detto frengo è nel caso in cui ci sia un numero pari di fattori...ovvero, ha dimostrato che se ne ho 2k+1 di quel tipo, ne posso ottenere 2k+2; manca l'altro passaggio, da pari a dispari.
$ 2^t\equiv 1\ \mod\ 3 $ se $ t\in\mathbb{Z}/2\mathbb{Z} $... eh?
Anche detto in italiano, non è che abbia molto senso ... come tutte le potenze modulo m, anche quelle di due avranno un ciclo ... quindi, più plausibilmente,
$ 2^t\equiv 1\mod 3 $ se t è pari e $ 2^t\equiv -1\mod 3 $ se t è dispari.
Direi quindi che l'unico problema in quel che ha detto frengo è nel caso in cui ci sia un numero pari di fattori...ovvero, ha dimostrato che se ne ho 2k+1 di quel tipo, ne posso ottenere 2k+2; manca l'altro passaggio, da pari a dispari.
Eh, sì...EvaristeG ha scritto:Direi quindi che l'unico problema in quel che ha detto frengo è nel caso in cui ci sia un numero pari di fattori...ovvero, ha dimostrato che se ne ho 2k+1 di quel tipo, ne posso ottenere 2k+2; manca l'altro passaggio, da pari a dispari.
...senonché così è meglio, no?thematrix ha scritto:scusate,ma non sarebbe più semplice considerare il numero $ 3 \prod p_i -1 $?
Ultima modifica di HiTLeuLeR il 13 set 2005, 12:19, modificato 1 volta in totale.