OliForum Matematico

regaz allora, dubbio assurdo (come al mio solito):

abbiamo $ a^x $ che è sempre maggiore di zero e cresce sempre (con $ a>1 $ decresce con $ 0<a<1 $)

Ma se abbiamo $ a<0 $ abbiamo una funzione con molti buchi ma che oscilla sopra e sotto?

PS: come sono cmabiati i tag rispetto al forum vecchio

buchi? Vuoi dire che non è definita per alcuni valori di x? (per fare un esempio: 1/2 , 1/4, 1/6, ...)

con a<0 l'esponenziale non è proprio definita

eh

pero' esiste come funzione o no?

non è esponenziale, ma è una caspia di funz?

E' una funzione da R a C.

eh come se fossi bravo come voi. (magari!)

Che vuol dire R a C?

magari intendi e' una funzione che passa da num Reali a quelli Complessi?

No no, facciamo chiarezza ...

allora, il simbolo $ x^y $ ha senso solo quando $ x\geq 0 $, a meno di non dare precise limitazioni su y.

Infatti, se y è un intero, la scrittura $ x^y $ ha senso anche per x negativi.

Se invece $ y=m/n $ è razionale, nello scrivere $ x^{m/n} $ vorremmo intendere la radice n-esima della potenza m-esima di x.
Ora, se x è negativo, potremmo trovarci ad estrarre la radice quadrata (o comunque 2k-esima) di un numero negativo, cosa che non è possibile nei numeri reali.

Per questo la funzione che ad ogni t associa $ x^t $ non è definita se x<0; questo vuol dire che non ha senso parlare di tale funzione, l'esponenziale con base negativa non esiste

La R e la C che giravano nei post precedenti sono gli insiemi dei numeri reali e dei numeri complessi :
$ \mathbb{C}=\{a+ib | a,b\in\mathbb{R}\} $

Ora, anche se poniamo che l'esponenziale possa assumere un valore complesso, esso non esiste quando la base è negativa :
$ (-1)^{3/4} $ ha senso nei complessi, ma da origine a 4 numeri, tutti e quattro radici quarte di -1; quindi non si riesce a definire la funzione $ (-1)^x $, in quanto non si riesce, per ogni caso, a scegliere una radice di modo che la funzione venga continua.

Ma nessuno aveva detto che doveva essere continua

Sì, ma quello che si cercava di dire è che secondo le convenzioni usuali l'"operazione" di esponenziazione nei complessi non è una funzione.

Mi spiego con una analogia più semplice (si fa per dire...)

L'estrazione di radice n-ma nei complessi dà n risultati possibili. E quindi, se non viene specificato nulla, non è una funzione.

Poi, puoi comunque definire una funzione che si comporti "come una radice". Ad esempio, una "radice quadrata sui complessi" potrebbe essere la funzione che associa ad x quel numero complesso y che elevato al quadrato torna x e che ha parte immaginaria positiva, oppure è reale non negativo.

Si può provare che tale numero esiste sempre ed è unico (salvo imprecisioni mie...), e quindi una funzione $ y = f(x) = " \sqrt x\ " $ è ben definita. E' una radice quadrata soddisfacente? Boh... Dipende dai gusti. Ad esempio, con questa "radice quadrata" non è detto che

$ $ "\sqrt{xy}\ " = "\sqrt x\ " \cdot "\sqrt y\ "$ $
Controesempio: x = y = -1.

Analogamente, con qualche difficoltà in più, si può definire un'"esponenziale" sui complessi anche se la base è negativa (o immaginaria, o complessa non reale...). Tuttavia, per poterlo fare, occorre rinunciare a qualche bella proprietà, e il modo per farlo non è univoco (esattamente come per la "radice"). Anzi: ci sono infiniti modi per farlo. Di nuovo: diventa una funzione solo se si specifica qualcosa di meglio.

Un modo per fare la funzione "esponenziale di base -1" potrebbe essere:

$ $ "(-1)^x\ " = e^{i \pi x} $

Questa è una funzione continua, liscia, carina, bellina, e nei valori dove $ (-1)^x $ ha senso nel modo classico, prende i valori giusti.

E' un'"esponenziale" soddisfacente? Di nuovo, dipende dai gusti...

Contrariamente all'esponenziale di base positiva, per esempio, non è iniettiva (e quindi non si può fare il logaritmo).

Ciao. M.

danke.

quindi siccome una radice n-esima sui cmplessi ha n soluzioni non sddisfa la definizione di funzione (almeno come la so' io)

thx

germania2002 ha scritto:danke.

quindi siccome una radice n-esima sui cmplessi ha n soluzioni non sddisfa la definizione di funzione (almeno come la so' io)

thx

Beh, le cose non stanno proprio così almeno da un punto di vista formale,
non sostanziale. In effetti la radice $ n $-esima è una funzione
(si dice) plurivoca, ciò per enfatizzare il fatto che pur associando ad ogni
numero complesso un unico elemento, tale unico elemento è un insieme:
l'insieme costituito dalle $ n $ soluzione di cui tu parli. E' cioè la funzione
$ f\colon z \in \mathbb{C} \mapsto \{z_1,\ldots,z_n\}\subseteq\mathbb{C} $ essendo $ z_1,\ldots,z_n $ le $ n $ soluzioni.

Ciao, Josh.

Analogamente, con qualche difficoltà in più, si può definire un'"esponenziale" sui complessi anche se la base è negativa (o immaginaria, o complessa non reale...). Tuttavia, per poterlo fare, occorre rinunciare a qualche bella proprietà, e il modo per farlo non è univoco (esattamente come per la "radice"). Anzi: ci sono infiniti modi per farlo. Di nuovo: diventa una funzione solo se si specifica qualcosa di meglio.

Un modo per fare la funzione "esponenziale di base -1" potrebbe essere:

$ $ "(-1)^x\ " = e^{i \pi x} $

Questa è una funzione continua, liscia, carina, bellina, e nei valori dove $ (-1)^x $ ha senso nel modo classico, prende i valori giusti.

E' un'"esponenziale" soddisfacente? Di nuovo, dipende dai gusti...

Contrariamente all'esponenziale di base positiva, per esempio, non è iniettiva (e quindi non si può fare il logaritmo).

Ciao. M.

Scusa se mi permetto di dirti che la funzione esponenziale sui complessi è una funzione fondamentale per tutti i calcoli sul campo complesso e sicuramente con un esponente ed una base qualsiasi (complessa). In realtà non è difficile costruirla.

Guarda pure questo link esplicativo, nota che a,b,c,d sono qualsiasi:

http://mathworld.wolfram.com/ComplexExponentiation.html

Il link che hai riportato, khristian, si riferisce all'esponenziazione complessa, cioè all'operazione z^w, non alla funzione che ad ogni z complesso associa w^z, con w fissato in C.
Tale funzione non è definibile in maniera opportuna nel caso di base negativa: ciò vuol dire che si deve rinunciare o a definirla per tutti i valori complessi o alla continuità della stessa funzione . Ad esempio
$ (-3)^{1/3} $
quanto fa?
Dipende dalla scrittura esponenziale che scegli per -3, dall'argomento (o parte angolare) che usi, variabile di multipli dell'angolo giro.

Inoltre, non è nemmeno la stessa cosa che per le radici n-esime: c'è un modo di trattare la radice n-esima di un numero complesso in maniera soddisfacente (tramite quella che si chiama teoria dei rivestimenti), ma l'esponenziale sfugge a questo proprio perchè con esso si può rappresentare una qualunque radice n-esima, per qualunque n.