Della forma (2^a - 2^b)/(2^c - 2^d)

[HiTLeuLeR]

Stabilire qual è il più piccolo intero positivo che non si può rappresentare nella forma $ \displaystyle\frac{2^a - 2^b}{2^c - 2^d} $, dove $ a, b, c, d $ sono essi stessi degli interi positivi.

[frengo]

Stabilire qual è il più piccolo intero positivo che non si può rappresentare nella forma $ \displaystyle\frac{2^a - 2^b}{2^c - 2^d} $, dove $ a, b, c, d $ sono essi stessi degli interi positivi.

la risposta è 11.
1 $ \longrightarrow $ a=2, b=1, c=2, d=1
2 $ \longrightarrow $ a=3, b=2, c=2, d=1
3 $ \longrightarrow $ a=3, b=1, c=2, d=1
4 $ \longrightarrow $ a=4, b=3, c=2, d=1
5 $ \longrightarrow $ a=5, b=1, c=3, d=1
6 $ \longrightarrow $ a=4, b=2, c=2, d=1
7 $ \longrightarrow $ a=4, b=1, c=2, d=1
8 $ \longrightarrow $ a=5, b=4, c=2, d=1
9 $ \longrightarrow $ a=7, b=1, c=4, d=1
10 $ \longrightarrow $ a=6, b=2, c=3, d=1

$ 11= $$ \displaystyle\frac{2^a - 2^b}{2^c - 2^d} $

visto che d è la minore delle 4 incognite posso semplificare

$ 11= $$ \displaystyle\frac{2^x - 2^z}{2^y - 1} $

visto che 11 è dispari z=0

$ 11= $$ \displaystyle\frac{2^x - 1}{2^y - 1} $

$ 11(2^y - 1)=2^x - 1 $

$ 11 \cdot 2^y - 10=2^x $

$ 11 \cdot 2^{y-1} - 5=2^{x-1} $

quindi o y=1 o x=1 (altrimenti un membro sarebbe pari e l'altro dispari)

se x=1

$ 11 \cdot 2^{y-1}=6 $ impossibile

se y=1

$ 6=2^{x-1} $ impossibile.

qed