dimostrazione

[sgiangrag]

dimostrare che

2^(1/2)<(x+1)^(1/2)+(1-x)^(1/2)<2

in particolare dimostrare che per x=0 si ha il valore massimo e che x=-1 e x=1 quello minimo

[enomis_costa88]

Elevo ottenendo:
$ 2 \leq x+1-x+1 +2 \sqrt{(x+1)(1-x)} \leq 4 $

$ 2 \leq x+1-x+1 +2 \sqrt{(x+1)(1-x)} $ è vera perchè: $ 0 \leq 2 \sqrt{(x+1)(1-x)} $ e $ 2 = x+1-x+1 $
poichè lavoriamo in R (almeno spero ) ..e la radice di un positivo è positiva mentre la radice di un negativo è definita solo sui complessi.
Inoltre:
$ 0 = 2 \sqrt{(x+1)(1-x)} $ solo se (legge di annullamento del prodotto) x+1=0 o x-1=0 e quindi x=+-1 (che sono i valori per i quali l'espressione data ha minimo).

$ x+1-x+1 +2 \sqrt{(x+1)(1-x)}= 2+2 \sqrt{(x+1)(1-x)} \leq 4 $ è vera perchè:
$ -x^2 \leq 0 $
$ x+1-x^2-x \leq 1 $
$ (x+1)(1-x) \leq 1 $
$ 4(x+1)(1-x) \leq 4 $ ed estraendo la radice ottengo:
$ 2 \sqrt{(x+1)(1-x)} \leq 2 $ , aggiungendo 2 a ciascun membro ottengo la tesi.

Inoltre l'uguaglianza si ha solo quando $ -x^2=0 $.
Quindi il valore massimo dell'espressione data si ha per x=0.

[sgiangrag]

io avevo pure pensato di porre

(1-x)^(1/2)+(1+x)^(1/2)=((1-x/2)^2-x^/4))^(1/2)+((1+x/2)^2-x^2/4))^(1/2)

ma poi non sapevo come andare avanti... qualcuno ha 1 idea?