Inviato: 01 gen 1970, 01:33
(Qui uso == per la congruenza)
<BR>L\'ipotesi equivale a dire che xy+1 sia divisibile per 3 e per 8, cioè che xy+1==0 mod 3 e xy+1==0 mod 8;
<BR>la tesi, analogamente, è che x+y==0 mod 3 e che x+y==0 mod 8.
<BR>Dimostriamo che x+y=0 mod 3
<BR>Si ha:
<BR>xy+1==0 mod 3
<BR>xy==2 mod 3
<BR>evidentemente, 3 non divide né x né y; sia x=3a+b e y=3c+d, con 0<=b<3 e 0<=d<3; xy=9ac+3(bc+ad)+bd==bd mod 3; poiché xy==2 mod 3, bd==2 mod 3; verificando i quattro possibili casi per i valori di b e d, si vede che b=1 e d=2 o viceversa(in altro modo, se b=d, bd=b²==1 mod 3), e che b+d=3. Quindi x+y=3(a+c)+b+d=3(a+c+1)==0 mod 3.
<BR>(Si poteva fare una cosa simile, supponendo direttamente che 0<=x<3 e 0<=y<3, perché altrimenti si prenderebbero i resti di x e y divisi per 3, e si avrebbe x\'y\'==xy e x\'+y\'==x+y mod 3; si tratta solo di una parafrasi di quanto già detto).
<BR>Dimostriamo che x+y=0 mod 8
<BR>Si ha:
<BR>xy+1==0 mod 8
<BR>xy==7 mod 8
<BR>evidentemente, 8 non divide né x né y; sia x=8a+b e y=8c+d, con 0<=b<8 e 0<=d<8, xy=64ac+8(bc+ad)+bd==bd mod 8; poiché xy==7 mod 8, bd==7 mod 8; verificando i 49 possibili casi per i valori di b e d, si vede che b=1 e d=7 o viceversa, o b=3 e d=5 e viceversa; per sveltire questa verifica, poiché bd<=49 e bd==7 mod 8, allora bd deve essere uno dei numeri tra 7 e 49 che sono congrui a 7 mod 8, cioè 7,15,23,31,39,47; tentando di scomporli in fattori, 7=1*7, 15=3*5, ma per tutti gli altri non si trovano due fattori b e d compresi in {0,...,7}, quindi otteniamo il risultato già detto; in entrambi i casi b+d=8. Quindi x+y=8(a+c)+b+d=8(a+c+1)==0 mod 8.
<BR>Come vi sembra?
<BR>L\'ipotesi equivale a dire che xy+1 sia divisibile per 3 e per 8, cioè che xy+1==0 mod 3 e xy+1==0 mod 8;
<BR>la tesi, analogamente, è che x+y==0 mod 3 e che x+y==0 mod 8.
<BR>Dimostriamo che x+y=0 mod 3
<BR>Si ha:
<BR>xy+1==0 mod 3
<BR>xy==2 mod 3
<BR>evidentemente, 3 non divide né x né y; sia x=3a+b e y=3c+d, con 0<=b<3 e 0<=d<3; xy=9ac+3(bc+ad)+bd==bd mod 3; poiché xy==2 mod 3, bd==2 mod 3; verificando i quattro possibili casi per i valori di b e d, si vede che b=1 e d=2 o viceversa(in altro modo, se b=d, bd=b²==1 mod 3), e che b+d=3. Quindi x+y=3(a+c)+b+d=3(a+c+1)==0 mod 3.
<BR>(Si poteva fare una cosa simile, supponendo direttamente che 0<=x<3 e 0<=y<3, perché altrimenti si prenderebbero i resti di x e y divisi per 3, e si avrebbe x\'y\'==xy e x\'+y\'==x+y mod 3; si tratta solo di una parafrasi di quanto già detto).
<BR>Dimostriamo che x+y=0 mod 8
<BR>Si ha:
<BR>xy+1==0 mod 8
<BR>xy==7 mod 8
<BR>evidentemente, 8 non divide né x né y; sia x=8a+b e y=8c+d, con 0<=b<8 e 0<=d<8, xy=64ac+8(bc+ad)+bd==bd mod 8; poiché xy==7 mod 8, bd==7 mod 8; verificando i 49 possibili casi per i valori di b e d, si vede che b=1 e d=7 o viceversa, o b=3 e d=5 e viceversa; per sveltire questa verifica, poiché bd<=49 e bd==7 mod 8, allora bd deve essere uno dei numeri tra 7 e 49 che sono congrui a 7 mod 8, cioè 7,15,23,31,39,47; tentando di scomporli in fattori, 7=1*7, 15=3*5, ma per tutti gli altri non si trovano due fattori b e d compresi in {0,...,7}, quindi otteniamo il risultato già detto; in entrambi i casi b+d=8. Quindi x+y=8(a+c)+b+d=8(a+c+1)==0 mod 8.
<BR>Come vi sembra?