Disuguaglianza da Hojoo Lee

[Spider]

Evitare le formule lunghe vuol solo dire inserire /tex e tex nel mezzo ... EG

Dimostrare che, per $ x $, $ y $, $ z $ reali positivi, vale la seguente disuguaglianza:

$ \displaystyle{\frac{x}{x + \sqrt{(x+y)(x+z)}} } $$ \displaystyle{+ \frac{y}{y + \sqrt{(y+z)(y+x)}} + \frac{z}{z + \sqrt{(z+x)(z+y)}} \leq 1} $

Spider

EDIT: Correggo una y che mi era scappata... grazie Boll ^^

[Boll]

Lemma 1 Se $ a^2,b^2,c^2 $ sono lati di un triangolo, allora anche $ a,b,c $ lo sono.

Dimostrazione:
Per la disuguaglianza triangolare (che ricordiamo essere necessaria e sufficente)
$ a^2+b^2>c^2 $
$ (a+b)^2-2ab>c^2 $
ma $ (a+b)^2>(a+b)^2-2ab $ quindi
$ (a+b)^2>c^2 $
$ a+b>c $


Sostituendo...

$ \sqrt{x+y}=a $
$ \sqrt{y+z}=b $
$ \sqrt{x+z}=c $

Quindi
$ \displaystyle x=\frac{a^2-b^2+c^2}{2} $ e cicliche e $ a^2,b^2,c^2 $ sono i lati di un triangolo (per quanto provato prima anche $ a,b,c $)

La tesi da mostrare diviene

$ \displaystyle \sum \frac{a^2-b^2+c^2}{a^2-b^2+c^2+2ac}\le 1 $
$ \displaystyle \sum \frac{a^2-b^2+c^2}{(a+b+c)(a-b+c)}\le 1 $
$ \displaystyle \sum \frac{a^2-b^2+c^2}{a-b+c}\le a+b+c $

$ a=t+u \qquad b=u+v \qquad c=t+v $ per l'ipotesi che a,b,c siano lati di un triangolo

$ \displaystyle \sum \frac{t^2+tu+tv-uv}{t}\le 2(t+u+v) $
$ \displaystyle 3(t+u+v)-\sum \frac{uv}{t}\le 2(t+u+v) $
$ \displaystyle \frac{tu}{v}+\frac{tv}{u}+\frac{uv}{t}\ge t+u+v $
che altro non è che un'applicazione della disuguaglianza di riordinamento

Al solito, chiedete se non capite o se ho scritto str****te, e tutti i passaggi sono invertibili

[Spider]

Molto suggestiva, e mi sembra del tutto corretta

La mia era più... straightforward.
Usando le somme cicliche, la disuguaglianza è:

$ \displaystyle \sum \displaystyle{\frac{x}{x + \sqrt{(x+y)(x+z)}} } \leq 1 $

Razionalizzando:

$ \displaystyle \sum {\frac{x(\sqrt{(x+y)(x+z)} - x)}{(x+y)(x+z) - x^2} } = $$ \displaystyle \sum {\frac{x(\sqrt{(x+y)(x+z)} - x)}{xy + xz + yz} } $

D'altronde per AM-GM $ \displaystyle\sqrt{(x+y)(x+z)} \leq \frac{(x + y) + (x + z)}{2} = x + \frac{y + z}{2} $, per cui

$ \displaystyle \sum {\frac{x(\sqrt{(x+y)(x+z)} - x)}{xy + xz + yz} } \leq $$ \displaystyle \sum {\frac{x\left(x + \displaystyle\frac{y + z}{2} - x\right)}{xy + xz + yz} } = $$ \displaystyle\sum {\frac{\displaystyle\frac{xy + xz}{2}}{xy + xz + yz} } = 1 $

Salvatore