Trovare tutte le funzioni tali che:
$ f(x+f(y)+xf(y))=y+f(x)+yf(x) $ $ \forall $ $ x,y>-1 $
e tali che $ f(x)/x $ sia strettamente crescente negli intervalli $ (-1,0) $ e $ (0, + \infty) $
funzionali alla ribalta!
-
- Moderatore
- Messaggi: 1053
- Iscritto il: 01 gen 1970, 01:00
- Località: Pescara
- HumanTorch
- Messaggi: 281
- Iscritto il: 01 gen 1970, 01:00
- Località: Tricase
$ y=0\to f(0)=c, f(c)=c, \frac{f(c)}{c}=1, c\neq 0 $;
l'espressione è interscambiabile in x,y, $ x=y\to f(i)=i $, ma per l'ipotesi che $ \frac{f(i)}{i} $ sia una funzione bigettiva, abbiamo $ c+1=x+f(x)+xf(x)+1 $, da cui si risolve;
se c=0,allora detto $ t=f^{-1}(y) $ per qualche y, avremo che $ f(1+2y)+1=(f(1)+1)(t+1) $ e $ f(f(y))=y $; $ f(\cdot) $ deve essere iniettiva, perchè altrimenti $ f(y_m)=f(y_n)\to f(f(y_m))=f(f(y_n))\to y_m=y_n $; è facile dimostrare con la condizione che $ f(y)\neq y $; ma i rispettivi indici di tangenza, da y a f(y) e da f(y) a f(f(y))=y sono reciproci.
l'espressione è interscambiabile in x,y, $ x=y\to f(i)=i $, ma per l'ipotesi che $ \frac{f(i)}{i} $ sia una funzione bigettiva, abbiamo $ c+1=x+f(x)+xf(x)+1 $, da cui si risolve;
se c=0,allora detto $ t=f^{-1}(y) $ per qualche y, avremo che $ f(1+2y)+1=(f(1)+1)(t+1) $ e $ f(f(y))=y $; $ f(\cdot) $ deve essere iniettiva, perchè altrimenti $ f(y_m)=f(y_n)\to f(f(y_m))=f(f(y_n))\to y_m=y_n $; è facile dimostrare con la condizione che $ f(y)\neq y $; ma i rispettivi indici di tangenza, da y a f(y) e da f(y) a f(f(y))=y sono reciproci.
Ultima modifica di HumanTorch il 01 mag 2006, 00:45, modificato 1 volta in totale.
-
- Moderatore
- Messaggi: 1053
- Iscritto il: 01 gen 1970, 01:00
- Località: Pescara
-
- Messaggi: 741
- Iscritto il: 16 apr 2006, 11:34
- Località: La terra, il cui produr di rose, le dié piacevol nome in greche voci...
sia $ x=y=t $
abbiamo:
$ f(t+f(t)+tf(t))=t+f(t)+tf(t) $
escludendo la soluzione
$ f(x)=x $
deve esistere $ a $ tale che $ f(a)=a $
e deve essere
$ t+f(t)+tf(t)=a $ per ogni $ t>-1 $
ora , abbiamo che f è iniettiva (dimostrato nel precedente intervento).
per cui esiste un solo possibile valore di $ a $
si ha
$ f(t)=(a-t)/(1+t) $
dal fatto che f(a)=a si arriva a
f(a)=0 ovvero a=0, ovvero la soluzione è
$ f(x)=-\frac{x}{x+1} $
che soddisfa anche l'altra relazione
abbiamo:
$ f(t+f(t)+tf(t))=t+f(t)+tf(t) $
escludendo la soluzione
$ f(x)=x $
deve esistere $ a $ tale che $ f(a)=a $
e deve essere
$ t+f(t)+tf(t)=a $ per ogni $ t>-1 $
ora , abbiamo che f è iniettiva (dimostrato nel precedente intervento).
per cui esiste un solo possibile valore di $ a $
si ha
$ f(t)=(a-t)/(1+t) $
dal fatto che f(a)=a si arriva a
f(a)=0 ovvero a=0, ovvero la soluzione è
$ f(x)=-\frac{x}{x+1} $
che soddisfa anche l'altra relazione