Dimostrare che risulta:
$ $\frac{x}{1+zx}+\frac{y}{1+xy}+\frac{z}{1+yz}\geq \frac{3xyz}{1+(xyz)^2} $
con x,y,z>0
Leandro
Eccone un'altra
Divido per xyz:
$ $\frac{1}{yz(1+xz)}+\frac{1}{zx(1+yx)}+\frac{1}{xy(1+zy)}\geq \frac{3}{1+(xyz)^2} $
Pongo :
$ $a=yz,b=zx,c=xy $ da cui $ $ abc= x^2y^2z^2 $
e sostituendo:
$ $\frac{1}{a(1+b)}+\frac{1}{b(1+c)}+\frac{1}{c(1+a) }\geq \frac{3}{1+abc}} $
oppure :
$ $ \left [\frac{1+abc}{a(1+b)}+1\right]+\left[\frac{1+abc}{b(1+c)}+1\right]+\left[\frac{1+abc}{c(1+a) }+1 \right] \geq 6 $
Facendo qualche calcolo nelle parentesi,risulta:
$ $\left[\frac{1+a}{a(1+b)}+\frac{b(1+c)}{1+b}\right]+ $$ $\left[\frac{1+b}{b(1+c)}+\frac{c(1+a)}{1+c}\right]+\left[\frac{1+c}{c(1+a)}+\frac{a(1+b)}{1+a} \right]\geq 6 $
Raccogliendo i termini in un diverso ordine (1° con 6°, 2° con 3°, 4° con 5°) si ha:
$ $ \left[\frac{1+a}{a(1+b)}+\frac{a(1+b)}{1+a} \right] + $$ $\left[\frac{1+b}{b(1+c)}+\frac{b(1+c)}{1+b} \right]+\left[\frac{1+c}{c(1+a)}+\frac{c(1+a)}{1+c} \right] \geq 6 $
Ora le espressioni contenute in ciascuna parentesi sono del tipo $ $x+\frac{1}{x} $ con x>0
e , com'e' noto , risulta $ $x+\frac{1}{x} \geq 2 $. Da qui la tesi.
Leandro
$ $\frac{1}{yz(1+xz)}+\frac{1}{zx(1+yx)}+\frac{1}{xy(1+zy)}\geq \frac{3}{1+(xyz)^2} $
Pongo :
$ $a=yz,b=zx,c=xy $ da cui $ $ abc= x^2y^2z^2 $
e sostituendo:
$ $\frac{1}{a(1+b)}+\frac{1}{b(1+c)}+\frac{1}{c(1+a) }\geq \frac{3}{1+abc}} $
oppure :
$ $ \left [\frac{1+abc}{a(1+b)}+1\right]+\left[\frac{1+abc}{b(1+c)}+1\right]+\left[\frac{1+abc}{c(1+a) }+1 \right] \geq 6 $
Facendo qualche calcolo nelle parentesi,risulta:
$ $\left[\frac{1+a}{a(1+b)}+\frac{b(1+c)}{1+b}\right]+ $$ $\left[\frac{1+b}{b(1+c)}+\frac{c(1+a)}{1+c}\right]+\left[\frac{1+c}{c(1+a)}+\frac{a(1+b)}{1+a} \right]\geq 6 $
Raccogliendo i termini in un diverso ordine (1° con 6°, 2° con 3°, 4° con 5°) si ha:
$ $ \left[\frac{1+a}{a(1+b)}+\frac{a(1+b)}{1+a} \right] + $$ $\left[\frac{1+b}{b(1+c)}+\frac{b(1+c)}{1+b} \right]+\left[\frac{1+c}{c(1+a)}+\frac{c(1+a)}{1+c} \right] \geq 6 $
Ora le espressioni contenute in ciascuna parentesi sono del tipo $ $x+\frac{1}{x} $ con x>0
e , com'e' noto , risulta $ $x+\frac{1}{x} \geq 2 $. Da qui la tesi.
Leandro