Non penso si debba usare Bernuolli nella dimostrazione... del termine $ \rho g h $ che ne facciamo? in base a dove sta il foro ciascun elemento di aria subisce la pressione di quelli sovrastanti... lasciamo stare Bernoulli!
Prima di proporre il topic io avevo pensato:
considero l'aria un gas perfetto e differenzio $ pV=nRT $ che ha $ V $ costante ad anche $ T $ costante perchè è un'espansione libera:
$ \displaystyle \frac{dp}{dn} = \frac{RT}{V} $ (1)
Ora ogni intervallo di tempo $ dt $ esce un quantità di moli $ dn $ proporzionale alla forza con cui l'aria viene spinta fuori, cioè proporzionale alla pressione residua dato che la sezione del foro è costante; in formule:
$ \displaystyle \frac{dn}{dt} = \lambda \cdot p $ (2)
con $ \displaystyle \lambda \in \mathbb{R}^- $ una costante.
Mettendo insieme (1) e (2):
$ \displaystyle \int_{p_0}^{p} \frac{dp}{p} = \int_{0}^{t} \lambda \cdot \frac{RT}{V} \cdot dt $
da cui
$ \displaystyle p(t) = p_0 \cdot e^{\frac{\lambda R T}{V} \cdot t} $.
Per il punto (b), imponendo $ p(0) = p_{atm} $, $ p(\Delta t) = p_1 $, volume e temperatura del testo si ricava $ \lambda $
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Edit: senza \displaystyle le formule sono impasticciatissime

Considerate la vostra semenza: fatte non foste a viver come bruti, ma per seguir virtute e canoscenza