Anno accademico 1995/96...

Analisi, algebra lineare, topologia, gruppi, anelli, campi, ...
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sqrt2
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Anno accademico 1995/96...

Messaggio da sqrt2 » 03 ago 2006, 14:48

4. Sia $ f: \mathbb R \rightarrow \mathbb R $ una funzione non negativa, con concavità rivolta verso l’alto, derivabile e tale che$ f' (0) > 0 $ e $ f (x) = f (2 - x) $ per ogni $ x \in\mathbb R $.
Dimostrare che
$ \displaystyle{\int_0^{2}\ f(x)dx\leq 2f(1) - \frac{[f(1) - f(0)]^2}{f'(0)} $

Provare che se la condizione $ f (x) = f (2 - x) $ non è verificata, la diseguaglianza può non valere.

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Leblanc
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Messaggio da Leblanc » 04 ago 2006, 12:08

sei sicuro che la concavita' sia verso l'alto? perche' non riesco nemmeno a disegnarlo, simmetrico rispetto a x=1 e con derivata in 0 positiva... mentre se lo si fa con concavita' verso il basso torna tutto bene.

EvaristeG
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Messaggio da EvaristeG » 04 ago 2006, 13:10

Innanzitutto non mi sembra un problema di Algebra ... in secondo luogo, il testo è quello riportato anche su internet ... ma per le funzioni con concavità verso l'alto la disuguaglianza è falsa ... peccato, sembrava carino.
Temo che il testo corretto sia per funzioni con concavità verso il basso...

EvaristeG
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Messaggio da EvaristeG » 05 ago 2006, 12:54

Allora ... nell'ipotesi di concavità verso il basso ...
$ \int_0^2f(x)dx=2\int_0^1f(x)dx $ per la simmetria rispetto a x=1.
Inoltre, la derivata prima è positiva per x<1>1.
Poi, poichè la f ha la concavità verso il basso, essa sta sempre sotto ogni sua retta tangene; chiamiamo r la retta tangente in $ A=(0,f(0)) $ e s la retta $ y=f(1) $, sia B il loro punto di intersezione e sia $ C=(1,f(1)) $.
Allora l'integrale di f tra 0 e 1 è minore dell'area sotto la spezzata ABC, che è metà del RHS (ricordando che il coefficiente angolare di r è f'(0)).

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Gauss_87
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Messaggio da Gauss_87 » 08 ago 2006, 17:52

confermo... era concavità verso il basso... poi l'unica idea era quella di Evariste cioè: retta tangente sovrastante il grafico.
Bye
Considerate la vostra semenza: fatte non foste a viver come bruti, ma per seguir virtute e canoscenza

HomoPatavinus
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Messaggio da HomoPatavinus » 26 ago 2006, 18:18

Stavo riscrivendo esattamente lo stesso problema.. per fortuna, cercando come fare il simbolo di integrale, mi sono imbattuto su questo topic.
Il mio primo dubbio è stato già chiarito da quanto leggo, (la concavità era verso il basso), ma ne ho 1 altro: come fa la funzione ad essere sempre non negativa? Se la concavità è verso il basso significa che prima o poi dovrà scendere al disotto dell'asse X o sbaglio? perchè se poi diventasse un asintoto per Y=0 allora cambierebbe la sua concavità....

EvaristeG
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Messaggio da EvaristeG » 26 ago 2006, 18:29

Visto che tutto il problema riguarda l'intervallo [0,2], penso che la positività vada intesa limitata a tale intervallo.

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