Sns 2002/2003 #5

Polinomi, disuguaglianze, numeri complessi, ...
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evans
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Sns 2002/2003 #5

Messaggio da evans » 23 ago 2006, 17:51

Detreminare la più grande costante $ M $ tale che:

$ \left(a+b+c+d\right)^{2} \geq M \left(ab+bc+cd\right) $

qualunque siano i numeri reali maggiori o uguali a zero a,b,c,d.
Per tale valore di $ M $, determinare i numeri a,b,c,d per i quali si ottiene un'uguaglianza.
Determinare se e come cambia la risposta al punto precedente se a,b,c,d sono numeri reali qualunque.

dini
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Messaggio da dini » 23 ago 2006, 17:57

la soluzione di questo quesito si trova su internet, però non mi ricordo bene il sito.

EvaristeG
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Messaggio da EvaristeG » 24 ago 2006, 19:46

Innanzitutto, cancello il doppione.

Inoltre, la soluzione di molti dei quesiti che propongono gli utenti di questo forum appare qui o là su internet; lo scopo del proporre non è semplicemente avere la soluzione, ma a volte è condividere con gli altri un problema che è sembrato stimolante, bello, divertente o istruttivo, per qualche motivo.

Colgo l'occasione per ricordare a tutti che non è gentile nè produttivo postare, come prima risposta ad un problema, il link a un sito che ne offre la soluzione, a meno che il problema in oggetto non sia rimasto a lungo irrisolto e il propositore non ne abbia la soluzione, oppure a meno che il problema non sia già stato affrontato di recente su questo stesso forum.

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bh3u4m
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Messaggio da bh3u4m » 24 ago 2006, 21:43

Per il caso M=4 il tutto è equivalente a:
$ (a-b+c-d)^2 + 4 ad \ge 0 $
che è verificata per tutti gli a,b,c,d positivi e ha uguaglianza se a=d=0 e b=c.

Se ad M metto un numero maggiore di 4 trovo che la RHS ha valore maggiore del minimo della LHS, quindi non può essere.
Invece un valore di M minore di 4 dà un risultato corretto.

Per cui è verificata per M < 4.

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NEONEO
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Messaggio da NEONEO » 25 ago 2006, 10:31

Per il caso di reali anche negativi, mettete a=b=-c=-d e trovate M<0>=0, quindi M=0.
La formula generale è (a-b+c-d)^2 +(4-M)(ab+bc+cd) +4ad>=0
Se mettete M=4 si ottiene il caso di Bh3
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Gauss_87
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Messaggio da Gauss_87 » 25 ago 2006, 12:22

ma se $ a=b=c=d $, $ M $ può essere $ \frac{16}{3} > 4 $ :shock:
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edriv
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Messaggio da edriv » 25 ago 2006, 13:48

Detrminare la costante M tale che, per OGNI a,b,c,d reali positivi, [...]

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NEONEO
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Messaggio da NEONEO » 25 ago 2006, 15:08

No Gauss, non funziona così. Se usi un caso particolare è logico che M possa essere grande quanto vuoi: il fatto è che devi trovare M in modo tale che l'uguaglianza vale per qualsiasi a,b,c,d.
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NEONEO
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Messaggio da NEONEO » 25 ago 2006, 15:09

Puoi facilmente trovare non solo che M<=16/3 ma che M<=4 e poi dimostrare che per M=4 la disuguaglianza è soddisfatta per qualsiasi quadrupla di reali positivi.
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evans
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Messaggio da evans » 25 ago 2006, 15:52

bh3u4m ha scritto:Per il caso M=4 il tutto è equivalente a:
$ (a-b+c-d)^2 + 4 ad \ge 0 $
che è verificata per tutti gli a,b,c,d positivi e ha uguaglianza se a=d=0 e b=c.
Potresti spiegarla? :D

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NEONEO
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Messaggio da NEONEO » 25 ago 2006, 22:37

Fai i calcoli e porta tutto al primo membro, poi svolgi la mia che ho scritto e ti accorgi che sono uguali..... :D
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evans
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Messaggio da evans » 25 ago 2006, 23:21

Ok si trova!

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Gauss_87
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Messaggio da Gauss_87 » 26 ago 2006, 10:23

NEONEO ha scritto:No Gauss, non funziona così. Se usi un caso particolare è logico che M possa essere grande quanto vuoi: il fatto è che devi trovare M in modo tale che l'uguaglianza vale per qualsiasi a,b,c,d.
si ok non avevo letto per bene il testo
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erikh94
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Re: Sns 2002/2003 #5

Messaggio da erikh94 » 08 feb 2013, 16:08

Scusate, sono nuovo del forum. So di essere in (pesante) ritardo ma non capisco una cosa: il fatto che m=4 si trova come condizione svolgendo la disequazione iniziale o bisogna "vederlo"? Perchè io avevo fatto così:

a^2+b^2+c^2+d^2+ (2-m)ab+2ac+2ad+ (2-m)bc+2bd+ (2-m)cd >= 0

Quindi mi era venuto in mente di porre m>=2, perchè altrimenti per opportuni valori si trovano controesempi (appaiono alcuni termini negativi infatti).

Però non ho idea di come si possa migliorare il risultato.

Spero di essere stato chiaro...

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