Costante cosmologica [Ammissione SNS (2004-2005).6]

Meccanica, termodinamica, elettromagnetismo, relatività, ...
Rispondi
Avatar utente
Poliwhirl
Messaggi: 383
Iscritto il: 01 gen 1970, 01:00
Località: Napoli

Costante cosmologica [Ammissione SNS (2004-2005).6]

Messaggio da Poliwhirl » 28 ago 2006, 14:52

La possibile esistenza di una "costante cosmologica" $ \Lambda $ è uno dei risultati più sorprendenti della fisica degli ultimi anni. In presenza di una costante cosmologica, la forza radiale su un pianeta di massa $ m $ in orbita attorno al Sole ad una distanza $ r $ vale:
$ \displaystyle F_{\Lambda} = -\frac{GmM_S}{r^2} + \frac{\Lambda mr}{3} $
(a) Per $ \Lambda $ positivo, il termine correttivo dovuto a una costante cosmologica è equivalente alla presenza di una densità di massa uniforme e negativa (cioè che agisce respingendo il pianeta). Densità di quale valore?

(b) Le osservazioni cosmologiche indicano un valore di $ \Lambda $ di circa $ 10^{-35} sec^{-2} $. Qual è l'ordine di grandezza della modifica relativa del periodo di rivoluzione della Terra intorno al Sole dovuto alla presenza di una tale costante cosmologica?

Bye,
#Poliwhirl#

Avatar utente
Ani-sama
Messaggi: 418
Iscritto il: 19 feb 2006, 21:38
Località: Antwerpen (BE)
Contatta:

Messaggio da Ani-sama » 28 ago 2006, 15:23

Io questo problema sinceramente non penso d'averlo capito. Anche perché, come esce a me, è banalissimo!

Si nota infatti quasi automaticamente che $ $\frac{\Lambda m r}{3}$ $ ha la forma della legge di Hooke, cioè $ $F=kx$ $, dove qui la costante è $ $\frac{\Lambda m}{3}$ $. Uno, a questo punto, si ricorda che la forza di gravità assume effettivamente la forma della legge di Hooke se ci si trova all'interno di una sfera di una certa densità uniforme $ $\rho$ $, come per esempio all'interno della Terra! Infatti, se $ $F=G\frac{mM}{r^2}$ $, possiamo porre $ $M=\rho V= \rho \frac{4}{3}\pi r^3$ $, da cui esce fuori rapidamente $ $F=\left(\frac{G4\pi \rho m}{3}\right)r$ $. Ora, da una banale analisi dimensionale, scopriamo che $ $\Lambda$ $ ha le dimensioni di $ $G\rho$ $. Se poi, volendo semplificare, supponiamo la densità di massa ricercata distribuita uniformemente in modo sferico, allora siamo autorizzati a porre $ $\Lambda=4\pi G \rho$ $.

A questo punto, il mio dubbio: il problema richiede di trovare $ $\rho$ $; tuttavia, sarà possibile ricavarlo solo in funzione della forza gravitazionale effettivamente misurata, dal momento che non vedo proprio alcuna maniera per poter calcolarla, in assenza di altri dati...

Per quanto riguarda il punto (b), invece... beh, dovrebbe essere sufficiente porre $ $F=m \cdot \omega^2 r$ $ e, con due conti, ricavare l'espressione del periodo nel caso che la costante cosmologica sia assente e nel caso che sia presente, e confrontare i due valori... mah! Mi sembra troppo facile, boh.
...

Avatar utente
Gauss_87
Messaggi: 294
Iscritto il: 21 gen 2006, 17:20
Località: Pisa

Messaggio da Gauss_87 » 28 ago 2006, 15:45

Ani-sama ha scritto:$ $\Lambda=4\pi G \rho$ $.

A questo punto, il mio dubbio: il problema richiede di trovare $ $\rho$ $; tuttavia, sarà possibile ricavarlo solo in funzione della forza gravitazionale effettivamente misurata, dal momento che non vedo proprio alcuna maniera per poter calcolarla, in assenza di altri dati...
perchè in funzione della forza di gravità effettivamente misurata?

la tua $ G $ è la costante di gravitazione universale, la risoluzione del punto (a) è perfetta così come hai fatto.

per il punto (b) basta fare $ \frac{\Delta T}{T} $
Considerate la vostra semenza: fatte non foste a viver come bruti, ma per seguir virtute e canoscenza

Avatar utente
Ani-sama
Messaggi: 418
Iscritto il: 19 feb 2006, 21:38
Località: Antwerpen (BE)
Contatta:

Messaggio da Ani-sama » 28 ago 2006, 15:51

Ah, dici? uhm, boh, allora si poteva considerare $ $\Lambda$ $ noto... vabbè, pensavo di doverlo tenere incognito e calcolare tutto tenendo, al contrario, $ $F_{\Lambda}$ $ costante... :D

Niente, se è giusta... però, davvero facile!
...

Avatar utente
Gauss_87
Messaggi: 294
Iscritto il: 21 gen 2006, 17:20
Località: Pisa

Messaggio da Gauss_87 » 28 ago 2006, 16:05

Ani-sama ha scritto:Ah, dici? uhm, boh, allora si poteva considerare $ $\Lambda$ $ noto... vabbè, pensavo di doverlo tenere incognito e calcolare tutto tenendo, al contrario, $ $F_{\Lambda}$ $ costante... :D

Niente, se è giusta... però, davvero facile!
si $ \Lambda $ è un valore noto.. l'ho trovato su di un libro e quando l'ho visto ho subito pensato a questo problemino che avevo fatto un po di tempo fà :lol:
Considerate la vostra semenza: fatte non foste a viver come bruti, ma per seguir virtute e canoscenza

Avatar utente
Enialis
Messaggi: 27
Iscritto il: 24 giu 2006, 10:13
Località: Losanna (Svizzera)
Contatta:

Messaggio da Enialis » 28 ago 2006, 17:13

Scusate posso chidervi quanto vi viene il valore numerico dell'ordine di grandezza del punto b?
[img]http://img505.imageshack.us/img505/3149/551186929337sb7.png[/img]

Avatar utente
Gauss_87
Messaggi: 294
Iscritto il: 21 gen 2006, 17:20
Località: Pisa

Messaggio da Gauss_87 » 29 ago 2006, 21:54

sinceramente non ho fatto il conto ma a parte errori ho

$ \displaystyle T = 2 \pi \sqrt{\frac{d^3}{\gamma M_S}} $

$ \displaystyle T_{\Lambda} = \sqrt{\frac{12 \pi^2 d^3}{3 \gamma M_S - \Lambda d^3} } $

Variazione relativa

$ \displaystyle \frac{T_{\Lambda} - T}{T} $
Considerate la vostra semenza: fatte non foste a viver come bruti, ma per seguir virtute e canoscenza

Rispondi