Ammissione SNS (2004-2005).4

Meccanica, termodinamica, elettromagnetismo, relatività, ...
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Poliwhirl
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Ammissione SNS (2004-2005).4

Messaggio da Poliwhirl » 28 ago 2006, 15:12

Secondo Erodoto l'erezione della piramide di Kufu a Giza richiese $ 100000 $ uomini. Possiamo a nostra volta stimare questo numero presumendo che gli uomini usassero solo la loro forza muscolare e considerando che un uomo può svolgere circa $ 2.5 * 10^5 J $ di lavoro utile al giorno. In questa ipotesi quanti uomini sono necessari in un anno solo per sollevare alloro posto le pietre della piramide alta $ 147 m $ e con una base quadrata di $ 230 m $ di lato? Le pietre hanno densità di $ 2,7 g/cm^3 $.

Bye,
#Poliwhirl#

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Enialis
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Messaggio da Enialis » 28 ago 2006, 15:47

Il lavoro complessivo è dato da:
$ W=\int_0^{h_t} {\rho h g} dV $
dove $ \rho $ è la densità del materiale e $ h_t $ l'altezza della piramide. Detta b l'area della base di un prisma di altezza dh si ha:
$ b=\frac {B (h_t-h)^2}{h_t^2} $ e quindi il volume è dato da:
$ dV=\frac {B (h_t-h)^2}{h_t^2} dh $
L'integrale da calcolare è dunque:
$ W=\frac {B \rho g} {h_t^2} \int_0^{h_t} h(h_t-h)^2 dh $
$ W=\frac 1{12} B \rho g h_t^2=2,52 \cdot 10^{12} J $

*CORRETTO*
Ultima modifica di Enialis il 29 ago 2006, 09:45, modificato 1 volta in totale.
[img]http://img505.imageshack.us/img505/3149/551186929337sb7.png[/img]

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Gauss_87
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Messaggio da Gauss_87 » 28 ago 2006, 15:50

il lavoro per costruire la piramide è l'Energia Potenziale dell'intera massa concentrata sul baricentro della piramide (in buona approssimazione).

Tale massa sarà Densità*Volume, quindi il problema consiste solo nel calcolare l'altezza del centro di massa, in questo caso coincidente col baricentro della piramide perchè la densità è costante.
(non anticipo come calcolare tale altezza..)

Una volta ottenuta tale altezza è banale:

$ \rho V g h = 365 N W_{1 persona/giorno} $

da cui N.
Considerate la vostra semenza: fatte non foste a viver come bruti, ma per seguir virtute e canoscenza

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Gauss_87
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Messaggio da Gauss_87 » 28 ago 2006, 16:04

sono stato anticipato..

ah la mia $ h $ è l'altezza da terra del baricentro NON l'altezza totale della piramide
Considerate la vostra semenza: fatte non foste a viver come bruti, ma per seguir virtute e canoscenza

MaMo
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Messaggio da MaMo » 28 ago 2006, 17:51

Enialis ha scritto:Il lavoro complessivo è dato da:
$ W=\int_0^{h_t} {\rho V g} dh $
....
Sei sicuro? Dividendo la piramide in prismi di area b e altezza dh posti ad altezza h il lavoro complessivo diventa:

$ \displaystyle W=\int_0^{h_t}{\rho g h dV} = \frac{\rho g B}{h_t^2} \int_0^{h_t}h(h_t-h)^2 dh =\frac{\rho g B h_t^2}{12} $

Questo risultato coincide con la variazione di energia potenziale data da :

$ \dispaystyle \Deta U=mgh_{cm}=\displaystyle \frac{\rho g V h_t}{4}=\displaystyle \frac{\rho g B h_t^2}{12} $

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Enialis
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Messaggio da Enialis » 29 ago 2006, 09:36

Peto veniam! Ho sbagliato...è che cercavo di ricordare come l'avevo fatto mesi fa e di fretta non mi son reso conto dell'errore..ora correggo il post.
[img]http://img505.imageshack.us/img505/3149/551186929337sb7.png[/img]

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Messaggio da Gauss_87 » 29 ago 2006, 10:11

ragazzi, ma a me l'energia potenziale della piramide viene $ 3,36 \cdot 10^{12} J $
Considerate la vostra semenza: fatte non foste a viver come bruti, ma per seguir virtute e canoscenza

edelion
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Messaggio da edelion » 29 ago 2006, 10:18

anche a me risulta uguale ad Enialis: 2,52 * 10^12 J

che dovrebbe corrispondere a circa 28000 uomini
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Messaggio da Enialis » 29 ago 2006, 10:36

Quello che mi lascia perplesso è che l'esercizio dice:
Poliwhirl ha scritto: Possiamo a nostra volta stimare questo numero
Il che significa che il risultato si deve quanto meno avvicinare a 100000 e 30000-40000 non sono nemmeno la metà degli uomini che lavoravano secondo Erodoto...non è che si riposavano i week-end? :)
[img]http://img505.imageshack.us/img505/3149/551186929337sb7.png[/img]

nnsoxke
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Messaggio da nnsoxke » 29 ago 2006, 10:55

O forse oltre al problema del peso avevano anche quello degli attriti :P

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Messaggio da Enialis » 29 ago 2006, 11:04

Gauss a me l'altezza del centro di massa viene 36,75 m da cui lo stesso risultato ricavato senza cdm quindi 28000 uomini...ma calcolando che ogni giorno ne morivano circa 197 per la troppa fatica allora si arriva a quasi 100000 come diceva Erodoto tra vivi e morti :P
A parte gli scherzi la piramide di Cheope fu costruita in anni...per costruirla in un solo anno sono necessari un numero nettamente inferiore di 100000 uomini. Quindi bisogna solo mettersi d'accordo sul risultato corretto...
[img]http://img505.imageshack.us/img505/3149/551186929337sb7.png[/img]

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Messaggio da Gauss_87 » 29 ago 2006, 21:46

Enialis ha scritto:Gauss a me l'altezza del centro di massa viene 36,75 m da cui lo stesso risultato ricavato senza cdm quindi 28000 uomini...ma calcolando che ogni giorno ne morivano circa 197 per la troppa fatica allora si arriva a quasi 100000 come diceva Erodoto tra vivi e morti :P
A parte gli scherzi la piramide di Cheope fu costruita in anni...per costruirla in un solo anno sono necessari un numero nettamente inferiore di 100000 uomini. Quindi bisogna solo mettersi d'accordo sul risultato corretto...
avevo un errore di calcolo, ho la stessa altezza quindi presumo la stessa energia potenziale.

Erodoto sparava cavolate??
Considerate la vostra semenza: fatte non foste a viver come bruti, ma per seguir virtute e canoscenza

Fabrizio
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Messaggio da Fabrizio » 29 ago 2006, 22:14

Gauss_87 ha scritto: Erodoto sparava cavolate??
Non credo sia una buona approssimazione considerare solo il lavoro necessario a sollevare le pietre..:D
un po' di senso pratico non farebbe male!

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