Hmm .. sì, oppure si può rimanere a livello di conoscenze del primo anno e spenderci un po' più di tempo :
un gruppo è un insieme G, dotato di una operazione * che sia associativa, per la quale esista un elemento neutro e detto identità di G e per la quale ogni elemento di G abbia un inverso in G.
un omomorfismo tra gruppi G,H è una applicazione f:G-->H tale che $ f(g\star_G g')=f(g)\star_H f(g') $, $ f(e_G)=e_H $, $ f(g^{-1})=f(g)^{-1} $
(dove nell'ultima l'operazione di inverso a sinistra è nel gruppo G, a destra è nel gruppo H).
$ \mathbb{R} $ è un gruppo rispetto alla somma, $ \mathbb{R}^+ $ è un gruppo rispetto alla moltiplicazione, $ \mathbb{C} $ è un gruppo rispetto alla somma, $ \mathbb{C}^* $ rispetto alla moltiplicazione, $ \mathbb{S}^1=\{z\in\mathbb{C}\vert |z|=1\} $ è un gruppo rispetto alla moltiplicazione.
Si possono dimostrare i seguenti fatti :
1) fissato a>0 reale, esiste un unico omomorfismo continuo del gruppo additivo dei reali nel gruppo moltiplicativo dei reali positivi che manda 1 in a. Inoltre, se $ a\neq1 $, tale omomorfismo è bigettivo e la sua inversa è ancora un omomorfismo (è un isomorfismo).
2)I reali con l'addizione e i numeri complessi di norma 1 con la moltiplicazione non sono isomorfi.
3)Ogni omomorfismo continuo da R in S^1, se non è banale, è surgettivo
4)Ogni omomorfismo continuo non banale da R in S^1 è periodico e i suoi periodi sono multipli di un numero reale positivo.
5)Per ogni numero reale positivo a, esiste un solo omomorfismo continuo $ h_a:\mathbb{R}\to\mathbb{S}^1 $ tale che $ h_a(a/4)=i $.
6)Per ogni omomorfismo continuo $ f:\mathbb{R}\to\mathbb{C}^* $ esiste in C il limite $ \displaystyle{\lim_{t\to0}\frac{f(t)-1}{t}} $
7)Vale $ \displaystyle{\lim_{t\to 0}\frac{h_a(t)-1}{t}=\frac{2\pi i}{a}} $
(h_a è dal punto 5).
La parte reale e la parte immaginaria della funzione $ h_{2\pi} $ (ovvero l'unico a per cui il limite faccia i) si dicono seno e coseno.
Ovviamente tutte queste cose andrebbero dimostrare, ma uno studente del primo anno di matematica dovrebbe avere tutti gli strumenti; comunque, le dimostrazioni non sono impossibili, solo un pochino lunghe e magari tecniche.
!!
: in che senso?quali "strumenti di carattere più elevato" bisognerebbe utilizzare per ridefinire le funzioni circolari?perché queste definizioni risulterebbero più rigorose di quelle classiche col cerchio trigonometrico o coi semplici triangoli? 
