Modulo 2 pi greco

Numeri interi, razionali, divisibilità, equazioni diofantee, ...
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darkcrystal
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Modulo 2 pi greco

Messaggio da darkcrystal » 04 ott 2006, 13:18

Per ogni intero positivo n, si indichi con q(n) il numero reale, compreso
fra 0 e $ 2\pi $, tale che
$ q(n) \equiv 3n \pmod {2\pi} $
cioè tale che q(n)−3n sia un multiplo intero di $ 2\pi $.
Mostrare che esistono infiniti n per cui $ 0 \leq q(n) \leq \frac{\pi }{2} $
Fonte: ammissione SNS, 1993-94

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evans
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Messaggio da evans » 09 ott 2006, 12:23

:?: ma allora si può anche più in generale dire che:


$ q(n)\equiv n\pmod{2\pi} $

con q(n) compreso tra 0 e $ 2\pi $

darkcrystal
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Messaggio da darkcrystal » 09 ott 2006, 13:47

Scusa ma non ho capito... :?:
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auricola
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Messaggio da auricola » 09 ott 2006, 19:04

Non posso scrivere con latex visto che sto scrivendo in bianco, quindi premetto che d'ora in poi p=pi greco.
q(n)==3n (mod2p) e quindi q(n+a)==3n+3a (mod2p).
Si ha perciò che q(n+a)==q(n)+3a (mod2p).
Ora, prendiamo un qualsiasi n per cui q(n)>p/2 (mod2p).
q(n+2)==q(n)+6==q(n)+2p-6 (mod 2p). 2p-6=~0,28. Ed essendo 2p-6 minore di p/2, è intuitivo che prima o poi ci sarà un q(n+2k) soddisfacente.
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Messaggio da darkcrystal » 09 ott 2006, 19:44

Si... mettere a posto i dettagli è qualcosa di odioso, così come spiegare quel "è intuitivo"... però l'idea c'è!

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