Dal PEN con furore 1

[Cammy87]

Siano a,b,c,d numeri interi, dimostrare che:

$ 12|(a-b)(a-c)(a-d)(b-c)(b-d)(c-d) $

[pic88]

beh, esistono 2 fra questi la cui differenza è multiplo di 3 (banale). wlog sono a e b. Ora, fra b,c,d esistono 2 la cui differenza è pari. Se uno di questi è b siamo a posto: esistono due numeri a differenza pari anche fra a, c e d (che non siano c e d). Se invece b ha diversa parità di c e d, allora 1)a=c=d mod 2 oppure 2)a=c+1=b mod 2.
Peggio di così non potevo scriverla.

[Cammy87]

Beh forse peggio di così si poteva: la mia soluzione era scritta ancora peggio!
Comunque si possono evitare un po' di rigiri di parole appellandosi al sacro principio del pigeonhole!

Propongo anche una generalizzazione tratta dal sito del PEN:
Dati $ a_1,...,a_n $ interi allora$ \displaystyle\prod_{k=1}^{n-1}k! $ divide $ \displaystyle\prod_{i<j}(a_i-a_j) $