OliForum Matematico

Ciao Gente,
Volevo proporre un topic riassuntivo sui numeri complessi. Beh, diciamo che certamente per quasi tutte le questioni di definizioni, formalismi, curiosita`, e "che cosa sono?" ci sono sempre i soliti manuali che possono essere consultati. Ma visto che per avere una idea generale di questo argomento pochi hanno la vogli di andare a leggersi appunto un manuale, e spero che ce ne siano di gente invece che sa un po` di fondamenti, questo sara` appunto un topic su tutto quanto riguarda questio numeri.

Concordo, ma forse andrebbe messo nel glossario

Per cominciare dunque partirei da una questione di formalismo.

Il problema con i reali era che non tutti i polinomi di grado n avevano n radici.
Con i numeri complessi, introducendo cioe` i che per definizione e` una delle soluzioni di x^2+1=0 si riesce a rimediare a questo inconveniente. Da ora in poi abbiamo infatti che una equazione di tipo x^n=z dove z appartiene a C ha n soluzioni.

Dopo questa introduzione arriviamo alla mia prima domana al mondo, una domanda sul formalismo:

L'operazione di estrazione di radice n-esima allora e` un'operazione "generalizzata" cioe` ha piu` di un valore di "risposta"?
Questo va bene ancora... Si puo` definire pero` (non so se si faccia o no, pero` per avere un senso di completezza si dovrebbe) l'elevamento non solo a potenza razionale ma anche a una irrazionale...

Se uno guarda pero` la scrittura di un numero complesso in forma z=r*e^it
e vuole trovare z^1/n basta che faccia (r*e^it)^1/n= r^(1/n) * e^(i*t/n). Ovviamente pero`, in quanto e^it=e^i(t+2kPi) noi possiamo vedere che ci saranno altre soluzioni per k che va da 0 ad n-1 cioe` n soluzioni.

Nei numeri irrazionali non avremmo mai una limitazione sui valori di k cioe` ogni k dara` un risultato diverso. Si noti pero` che nei reali e` definito l'elevamento a potenza irrazionale (come limite di potenze razionali), almeno per le potenze positive. Non e` possibile, anche rimanendo solo nel campo di esponenti irrazionali positivi che non possiamo definire in C cio` che e` definito in R. Allora che cosa dobbiamo fare? Generalizzare il concetto di operazione accettando anche un insieme infinito di risultati? Certo che nel caso di cui ho parlato di definizione di potenza come limite non credo che sia accettabile...

Beh, se qualcuno sa come si supera questo aspetto del formalismo sarei infinitamente grato. Inoltre se secondo voi il topic va altrove o ha bisogno di chiarificazione: dite e scrivete!
Graz

Allora .. non so se l'avevo segnalato a suo tempo nel glossario (credo di sì) cmq ecco.
La prima parte è un'introduzione sui numeri complessi ... forse un po' troppo generale per le olimpiadi.