Gruppi e chiarezza

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1mPHUNit0

Gruppi e chiarezza

Messaggio da 1mPHUNit0 » 25 mag 2007, 17:55

1.)L'operazione è binaria e interna in G
2.)Esiste l'elemento neutro ed è unico
3.)Per ogni a diverso da zero esiste l'inverso
tale che a *a^-1=1
4.) L'operazione è associativa
5.) Il gruppo è anche commutativo (Abeliano)

Detto questo, che per me è correttissimo quando si hanno
gruppi che sono gruppi sia addittivi che moltiplicativi
numerici

Se ho ad esempio Q
E dico che (Q,*) è un gruppo va benone.
E se poi ho (Q, +,*)
Anche quì va benone

Ma se invece il Gruppo lo definisco in (Q/0,*)
allora poi quando faccio il campo
non posso scrivere (Q/0, +,*) poichè il caro
gruppo addittivo non avrebbe + il suo elemento neutro

Ma allora ci tocca usare due definizioni?
Una se si usa Q?
E una se si usa Q/0?
O c'è una convenzione accettata universalmente.

Io credo che ci siano diverse definizioni di gruppo
che si basano sul buon senso.
Ma molti studiano meccanicamente e dogmaticamente
E si fissano su una sola.
Quindi ti dicono che (Q,*) non è un gruppo

MindFlyer

Messaggio da MindFlyer » 25 mag 2007, 18:04

Spostato dal Glossario.

Esiste una definizione di gruppo e una di campo, e spero che tu le sappia. Poi, in qualche caso succede che estendendo un gruppo (G,+) a (G,+,*) salti fuori un campo, altre volte no. Non è che debba succedere per forza e in ogni caso. E' un po' strano che tu abbia questi dubbi.

Ultima cosa: benvenuto nel forum, e ricordati che qui si parla di Olimpiadi di Matematica.

phun

Messaggio da phun » 25 mag 2007, 18:27

Scusami, sono sempre io, ho avuto un prob con il server è ho fatto un altro utente.
No, non ho dubbi
E le definizioni le conosco.
Quello che voglio dire è
Posso dire che (Q,*) è un gruppo?
Perchè quello che trovo è sempre (Q/0,*) in tutti i libri
e con la definizione di gruppo che non richiede l'inverso diverso da zero.
Ma poi quando parlano di campo , parlano di (Q,+,*)
secondo me sbagliando.
Essendo le due definizioni di gruppo moltiplicativo differenti,
alla fine nel (Q,+,*) mancherà l'elemento neutro del gruppo addittivo

MindFlyer

Messaggio da MindFlyer » 25 mag 2007, 19:27

phun ha scritto:No, non ho dubbi
E le definizioni le conosco.
Quello che voglio dire è
Posso dire che (Q,*) è un gruppo?
Già da questo deduco che non conosci le definizioni, o per lo meno le conosci ma non le sai applicare.
3.)Per ogni a diverso da zero esiste l'inverso
tale che a *a^-1=1
Quel "diverso da zero" non c'entra un fico secco, toglilo e vedrai che ti tornerà tutto.

phun

Messaggio da phun » 25 mag 2007, 19:32

Sempre cosi presuntuosetto?

1.)L'operazione è binaria e interna in Q
2.)Esiste l'elemento neutro ed è unico
3.)Per ogni a diverso da zero esiste l'inverso
tale che a *a^-1=1
4.) L'operazione è associativa
5.) Il gruppo è anche commutativo (Abeliano)

E (Q,*) è un gruppo, e torna tutto.
Senza togliere quel diverso da zero, che non spieghi perchè dovrei toglierlo.
E se lo tolgo non torna nulla, perchè lo zero di Q non è invertibile.

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edriv
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Messaggio da edriv » 25 mag 2007, 20:11

phun ha scritto: 3.)Per ogni a diverso da zero esiste l'inverso
tale che a *a^-1=1
Mai e poi mai!!! Un po' di pietà per i gruppi!

Che poi, parli di 0 e di 1, senza averne definito nessuno, al massimo hai definito l'elemento neutro. Questo come lo spieghi?

phun

Messaggio da phun » 25 mag 2007, 20:17

Mai e poi mai!!! Un po' di pietà per i gruppi!
Perchè?
Questo come lo spieghi?
Nulla da spiegare.
Lo zero è l'elemento neutro del gruppo addittivo
e l'1 l'elemento neutro del gruppo moltiplicativo
Entrambi in Q

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Messaggio da edriv » 25 mag 2007, 20:27

Ah scusa, pensavo quella fosse una definizione.

Facciamo così: scrivi la tua definizione di gruppo, così chiariamo.

phun

Messaggio da phun » 25 mag 2007, 20:31

1.)L'operazione è binaria e interna in Q
2.)Esiste l'elemento neutro ed è unico
3.)Per ogni a appartenente a Q diverso da zero esiste l'inverso
tale che a *a^-1=1
4.) L'operazione è associativa
5.) Il gruppo è anche commutativo (Abeliano)
Era scritta sopra
E non di gruppo, ma di (Q,*) come gruppo, altrimenti
non ha senso per ogni a diverso da zero non avendo senso lo zero.

Nel caso generale avrei parlato di....
1.)L'operazione è binaria e interna in G
2.)Esiste l'elemento neutro ed è unico
3.)Per ogni a appartenente G esiste l'inverso
tale che a *a^-1=1
Ma se c'è un campo numerico ovviamente lo zero crea problemi per
l'invertibilità e bisogna farci i conti.
Ultima modifica di phun il 25 mag 2007, 21:08, modificato 1 volta in totale.

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Messaggio da hydro » 25 mag 2007, 21:02

mmmh in verità a me sembra che $ (\mathbb{Q};*) $ non sia minimamente un gruppo, mentre lo sono sia $ (\mathbb{Q} - \{0\};*) $ che $ (\mathbb{Q};+) $. E poi parlare di zero e di unità ha senso in un corpo, al massimo in un anello (se l'unità la possiede), in un gruppo ha senso parlare di elemento neutro e basta

phun

Messaggio da phun » 25 mag 2007, 21:09

Si ma Q è un campo, corpo commutativo
quindi ha senso eccome.
E (Q,*) verifica tutte le proprietà di gruppo.
E comunque
Ma se c'è un campo numerico ovviamente lo zero crea problemi per
l'invertibilità e bisogna farci i conti.
E infatti tu lo togli senza nemmeno definirlo ....(Q/0.*)
Non dirmi che è l'elemento neutro del gruppo addittivo Q
perchè allora anche io posso definirlo in quel modo.
al massimo in un anello (se l'unità la possiede)
emmm....non la possiede
Ultima modifica di phun il 25 mag 2007, 21:33, modificato 1 volta in totale.

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Messaggio da Martino » 25 mag 2007, 21:29

Ciao Phun.

Tu dici:
phun ha scritto:(Q,*) verifica tutte le proprietà di gruppo.
Ma non è vero, perché in un gruppo ogni elemento ha un inverso, e 0 in Q non ha nessun inverso moltiplicativo.

Un campo è un anello commutativo tale che, tolto lo zero, diventi un gruppo moltiplicativo. Questa è la definizione che conosco io.

Ciao.
"Possono essere anche patate, basta che ci sia l'azione!"

phun

Messaggio da phun » 25 mag 2007, 21:35

Ciao
1.)L'operazione è binaria e interna in Q
2.)Esiste l'elemento neutro ed è unico
3.)Per ogni a diverso da zero esiste l'inverso
tale che a *a^-1=1
4.) L'operazione è associativa
5.) Il gruppo è anche commutativo (Abeliano)
Secondo questa definizione, che è corretta (Q,*) è un bel gruppazzo
e (Q,*,+) un bel Campicello

phun

Messaggio da phun » 25 mag 2007, 21:42

Un campo è un anello commutativo tale che, tolto lo zero, diventi un gruppo moltiplicativo
No no
Un Anello non ha elemento neutro moltiplicativo
e non ha inverso.
E' appena un semigruppo rispetto all operazione di moltiplicazione

Al massimo un Campo è un corpo commutativo tale chè tolto lo zero
diventi un gruppo moltiplicativo

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Messaggio da hydro » 25 mag 2007, 21:52

Sì ma la distinzione sta proprio nel fatto che se guardi (Q;+,*) come un campo, allora ha senso parlare di zero e di unità ed essendo un campo gli elementi diversi dallo zero del campo formano un gruppo di cui 1 è l'elemento neutro. Se guardi (Q;+) come un gruppo allora il numero zero è l'elemento neutro, ed ha buoni motivi di essere chiamato zero poichè la notazione è additiva. Checchè tu ne voglia dire, il monoide (Q;*) non soddisfa gli assiomi di gruppo proprio perchè il numero 0 non è invertibile. Quando dico Q\{0} intendo che va tolto proprio il numero 0, che poi in questo specifico caso è anche lo zero del campo (Q;+,*) ma zero inteso come elemento neutro del gruppo additivo del campo. Il fatto che il gruppo (Q;+) possa ammettere una seconda operazione interna che rispetti, insieme alla prima, gli assiomi di campo, non ti autorizza a parlare di "zero" nel monoide (Q;*), poichè in esso l'elemento neutro rispetto alla * è 1, e non vi è alcun altro elemento "particolare". Inoltre come tu ben sai in un qualsiasi gruppo (quindi a maggior ragione nel tuo (Q;*)) valgono le leggi di cancellazione $ \forall a,b,c \in \mathbb{Q} $, e succede che $ ab=ac \implies b=c $pertanto , se (Q;*) fosse un gruppo in particolare varrebbero per a=0 e quindi dalla tua definizione seguirebbe che ad esempio $ 0*1=0*2 \implies 1=2 $. Nota bene che le leggi di cancellazione valgono per ogni a,b,c quindi anche per 0 che è nel tuo gruppo.

Per inciso: un anello non ha neutro moltiplicativo??? e i poveri anelli di polinomi su di un campo? e gli anelli di matrici su un campo? e le classi di resto modulo n? e gli interi di Gauss? e la somma diretta esterna di due campi qualsiasi?

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